Ver el código de «Calculo de magnitudes a partir de v(t) (GIOI)»

==Enunciado==
Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su velocidad sigue la ley, en el SI

<center><math>v(t) = (3t^2-66t+216)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

entre <math>t=0\,\mathrm{s}</math> y <math>t=24\,\mathrm{s}</math>. La posición inicial es <math>x(0) = 0\,\mathrm{m}</math>. Halle:

# La posición de la partícula en cada instante del intervalo indicado.
# La velocidad media de la partícula en este intervalo.
# Los valores máximo y mínimo de <math>x</math>.
# La distancia recorrida en ese intervalo y la rapidez media.
# La aceleración en todo instante.
# Los valores máximo y mínimo de la velocidad y la rapidez.
==Posición==
La posición instantánea la hallamos integrando la velocidad

<center><math>x(t) = x_0+\int_0^t v(t)\,\mathrm{d}t</math></center>

En este caso

<center><math>x(t) = \int_0^t(3t^2-66t + 216)\mathrm{d}t = t^3 - 33t^2 + 216t</math></center>

estando el tiempo medido en segundos y la posición en metros.

==Velocidad media==
El desplazamiento en este intervalo es

<center><math>\Delta x = x(24)-x(0) = 0 - 0 = 0\,\mathrm{m}</math></center>

con lo que la velocidad media es nula

<center><math>v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Posición máxima y mínima==
Los valores extremos de la posición corresponden a los instantes en que la velocidad se anula

<center><math>3t^2 - 66t + 216 = 0\qquad\Rightarrow\qquad t=4\,\mathrm{s}\qquad \mbox{o}\qquad t = 18\,\mathrm{s}</math></center>

siendo la posición en esos instantes

<center><math>x(4\,\mathrm{s}) = 400\,\mathrm{m}\qquad\qquad x(18\,\mathrm{s})=-972\,\mathrm{m}</math></center>

La partícula parte del origen, llega a una distancia máxima, a partir de ahí retrocede hasta un valor mínimo negativo y de ahí avanza de nuevo hasta terminar en la posición inicial

<center>[[Archivo:xdet-cubica.png]]</center>

==Distancia recorrida y rapidez media==
La distancia total recorrida no coincide con el desplazamiento neto, ya que la partícula va y viene en su movimiento.

De los resultados del apartado anterior tenemos que la partícula avanza 400&thinsp;m, luego retrocede esos mismos 400&thinsp;m y hace 972&thinsp;m. Por último vuelve a recorrer de nuevo los 972&thinsp;m hasta la posición original. la distancia total recorrida es

<center><math>\Delta s = 400\,\mathrm{m}+400\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}=2744\,\mathrm{m}</math></center>

Si no hubiéramos hallado previamente estas cantidades podemos calcular la distancia total recorrida integrando la rapidez

<center><math>\Delta s = \int_0^T |v|\,\mathrm{d}t</math></center>

El valor absoluto de la velocidad se obtiene cambiando el signo de la velocidad en los tramos en que es negativa ya que

<center><math>|x|=\begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}</math></center>

. El cambio de signo se produce en los puntos en que la velocidad se anula. 

<center>[[Archivo:vdet-cubica.png]]&nbsp;[[Archivo:absvdet-cubica.png]]</center>

Esto nos da

<center><math>|v| = \begin{cases} \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 0\,\mathrm{s} < t < 4\,\mathrm{s} \\ -\left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 4\,\mathrm{s} < t < 18\,\mathrm{s} \\ \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 18\,\mathrm{s} < t < 24\,\mathrm{s}\end{cases}</math></center>

Integrando esto

<center><math>\Delta s = \int_0^4 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t+\int_4^{18} \left(-\left(3t^2-66t+216\right)\right)\,\mathrm{d}t+\int_{18}^{24} \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t</math><math>
= \left(400+1372+972\right)\,\mathrm{m} = 2744\,\mathrm{m}</math></center>

La rapidez media es la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado:

<center><math>|v|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2744\,\mathrm{m}}{24\,\mathrm{s}}=114.3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Aceleración==
Derivando de nuevo hallamos la aceleración instantánea

<center><math>a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \left(6t-66\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

La gráfica de esta figura es una línea recta

<center>[[Archivo:adet-cubica.png]]</center>

La gráfica pasa por cero justo donde la velocidad es mínima.

==Velocidad y rapidez máximas y mínimas==
La velocidad mínima se obtiene cuando la aceleración es nula, es decir en <math>t=11\,\mathrm{s}</math>. En ese instante

<center><math>v(11\,\mathrm{s}) = -147\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor

<center><math>v(0\,\mathrm{s}) = 216\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v(24\,\mathrm{s}) = 360\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Por tanto el valor máximo en 360m/s.

Para la rapidez el valor máximo es el mismo, pero el mínimo no es +147m/s, sino 0m/s. Obsérvese que los extremos de la rapidez en este caso no se hallan donde su derivada es nula.
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