Ver el código de «1.3. Fórmulas dimensionalmente incorrectas»

==Enunciado==
Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):

:a) <math>W = \frac{1}{2}mv^2 + gy</math>

:b) <math>\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}</math>

:c) <math>\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}</math>

:d) <math>\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}</math>

:e) <math>\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t</math>

:f) <math>\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}</math>

:g) <math>P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)</math>

:h) <math>\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}</math>

==Caso (a)==
Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso 

<center><math>W = \frac{1}{2}mv^2 + gy</math></center>

tenemos que el [[Ejemplos_de_análisis_dimensional#Trabajo|Trabajo]] trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

<center><math>[W]= M L^2T^{-2}\,</math></center>

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que  este

<center><math>\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,</math></center>

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

<center><math>[gy] = [a][y] = \left(LT^{-2}\right)L = L^2T^{-2}\,</math></center>

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

==Caso (b)==
En el segundo caso

<center><math>\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}</math></center>

el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia

<center><math>\left[\vec{r}\times\vec{L}\right] = [r][L] = L(ML^2T^{-1}) = ML^3T^{-1}</math></center>

y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie

<center><math>\left[R^2\vec{p}\right] = L^2(MLT^{-1}) = ML^3T^{-1}</math></center>

Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.

==Caso (c)==
En el tercer caso

<center><math>\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}</math></center>

El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo

<center><math>[M]= M L^2 T^{-2}\,</math></center>

En el segundo miembro tenemos, para el primer término

<center><math>\left[\vec{r}\times\vec{F}\right] = [r][F]=L(MLT^{-2}) = M L^2T^{-2}</math></center>

y para el segundo

<center><math>\left[\vec{v}\times\vec{p}\right]= [v][p]= (LT^{-1})(MLT^{-1}) = ML^2T^{-2}</math></center>

Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.

==Caso (d)==
En el caso

<center><math>\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}</math></center>

Tenemos varias combinaciones que hay que verificar. Cada suma debe ser dimensionalmente correcta. En el primer miembro tenemos, en el denominador

<center><math>[x] = L\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>[vt]=[v][t]=(LT^{-1})T = L\,</math></center>

y en el denominador

<center><math>[t] = T\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>[v/a]=\frac{[v]}{[a]}=\frac{LT^{-1}}{LT^{-2}}=T</math></center>

Por tanto ambas sumas son simensionalmente correctas, obtenemos además que las dimensiones del cociente son

<center><math>\left[\frac{x-vt}{t-v/a}\right] = \frac{[x]}{[t]} = LT^{-1}</math></center>

Para el segundo miembro se cumple

<center><math>[W]= ML^2T^{-2}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>[Fx]=(MLT^{-2})L = ML^2T^{-2}</math></center>

que también es dimensionalmente correcta. Por último para la raíz cuadrada nos queda

<center><math>\left[\sqrt{\frac{W-Fx}{m}}\right]= \left(\frac{[W]}{[m]}\right)^{1/2} = \left(\frac{ML^2T^{-2}}{M}\right)^{1/2} = LT^{-1}</math></center>

Dado que estas dimensiones (de una velocidad) son las mismas que habíamos obtenido para el miembro, esta ecuación es dimensionalmente correcta.

==Caso (e)==
En la fórmula

<center><math>\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t</math></center>

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

<center><math>\left[\int \vec{F}\,\mathrm{d}t\right] = [F][t]=MLT^{-1}</math></center>

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

<center><math>\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}</math></center>

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

==Caso (f)==
Para la fórmula 

<center><math>\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}</math></center>

Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando

<center><math>[P] = ML^2T^{-3}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\left[\vec{F}\cdot\vec{v}\right] = [F][v] = (MLT^{-2})(LT^{-1}) = ML^2T^{-3}</math></center>

por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son

<center><math>\left[\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t\right] =[P][t] = ML^2T^{-2}</math></center>

Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones

<center><math>[mgh] = [m][g][h] = M(LT^{-2})L = ML^2 T^{-2}\,</math></center>

que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando

<center><math>\left[\frac{p^2}{2m}\right] = \frac{[p]^2}{[m]} = \frac{(MLT^{-1})^2}{M} = ML^2T^{-2}</math></center>

Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.

==Caso (g)==
En la expresión

<center><math>P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)</math></center>

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación 

<center><math>(x-\pi R^2)\,</math></center>

en la cual se suma una longitud (de dimensión <math>L</math>) con un área (de dimensión <math>L^2</math>), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.

==Caso (h)==
Por último, para la fórmula

<center><math>\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}</math></center>

el razonamiento es idéntico al del caso anterior. En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión <math>T</math>) la inversa de un tiempo (de dimensión <math>T^{-1}</math>) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.



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