Ver el código de «Sistema de tres conductores esféricos»

==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por tres conductores metálicos. Dos de ellos (“1” y “2”) son esferas macizas de radio <math>a=9\,\mathrm{mm}</math>. El tercero es una esfera de radio <math>c=4a=36\,\mathrm{mm}</math>, que tiene dos huecos esféricos de radio <math>b=2a=18\,\mathrm{mm}</math> en cuyo interior se encuentran los conductores “1” y “2”, concéntricamente a cada hueco.
El conductor “1” se encuentra conectado a tierra, el “2” a una fuente de tensión de <math>V_0=+1\,\mathrm{kV}</math>, y el “3” a una de tensión <math>V_3=2V_0=2\,\mathrm{kV}</math>. El infinito se halla a potencial 0 (tierra). No hay más conductores en el sistema. Calcule
# Las capacidades entre cada par de conductores y de cada uno con el infinito, si las hubiera.
# La carga neta de cada uno de los 3 conductores.
# La carga de cada una de las 5 superficies, tanto las exteriores de cada uno como las paredes de los huecos.
# La energía electrostática almacenada en el sistema.
<center>[[Archivo:sistema-tres-conductores-esfericos.png|600px]]</center>

==Capacidades del circuito equivalente==
Los conductores 1 y 2 forman con el 3 sendos condensadores esféricos de la misma capacidad 

<center><math>C_{13}=C_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}=\frac{9\times 10^{-3}\times 18\times 10^{-3}}{9\times 10^9 \times 9\times 10^{-3}}\,\mathrm{F}=2\,\mathrm{pF}</math></center>

Entre el 1 y el 2 no hay ningún condensador, ya que ninguna línea de campo que sale del conductor 1 puede ir a parar al conductor 2. Todas van al 3.

<center><math>C_{12}=0\,</math></center>

El conductor 1 no forma ningún condensador con el infinito, ya que del 1 solo hay líneas hacia el 3. Lo mismo pasa con el 2.

<center><math>C_{11}=C_{22}=0\,</math></center>

El conductor 3 sí forma un condensador con el infinito, siendo su capacidad la de un condensador esférico

<center><math>C_{33}=4\pi\varepsilon_0 c=\frac{36\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=4\,\mathrm{pF}</math></center>

El circuito está formado entonces por tres condensadores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.

[[Archivo:circuito-conductores-esfericos.png|800px|center]]

==Carga de cada uno de los conductores==
La carga de cada conductor es, en el circuito, igual a la suma de las cargas de los condensadores conectados al nodo correspondiente. Esto da, para el conductor 1

<center><math>Q_1=C_{13}(V_1-V_3)=2(0-2)\,\mathrm{nC}=-4\,\mathrm{nC}</math></center>

Para el 2

<center><math>Q_2=C_{23}(V_2-V_3)=2(1-2)\,\mathrm{nC}=-2\,\mathrm{nC}</math></center>

Para el 3 tenemos tres condensadores

<center><math>Q_3=C_{13}(V_3-V_1)+C_{23}(V_3-V_2)+C_{33}(V_3-0)=\left(2(2-0)+2(2-1)+4(2-0)\right)\,\mathrm{nC}=+14\,\mathrm{nC}</math></center>

==Carga de cada una de las superficies==
===Del conductor 1===
El conductor 1 tiene una única superficie, por lo que

<center><math>Q_{s1}=Q_1=-4\,\mathrm{nC}</math></center>

===Del conductor 2===
De la misma manera, tenemos, para el conductor 2

<center><math>Q_{s2}=Q_2=-2\,\mathrm{nC}</math></center>

===Del conductor 3===
El conductor 3 tiene 3 superficies, una por cada condensador

====Superficie enfrentada al conductor 1====
En esta pared del hueco, por el teorema de Faraday

<center><math>Q_{31}=-Q_1= +4\,\mathrm{nC}</math></center>

====Superficie enfrentada al conductor 2====
De nuevo por el teorema de Faraday

<center><math>Q_{31}=-Q_2= +2\,\mathrm{nC}</math></center>

====Superficie exterior====
Esta superficie contiene el resto de la carga del conductor 3, que es la del condensador que forma con el infinito

<center><math>Q_{33}=Q_3-Q_{31}-Q_{32}=(14-4-2)\,\mathrm{nC}= +8\,\mathrm{nC}</math></center>

==Energía almacenada==
Podemos calcular la energía almacenada a partir de la fórmula para tres conductores

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3=\left(\frac{1}{2}(-4)\cdot 0 + \frac{1}{2}(-2)\cdot 1+\frac{1}{2}(+14)\cdot 2\right)\,\mu\mathrm{J}=13\,\mu\mathrm{J}</math></center>
 
o a partir de la fórmula para un conjunto de condensadores

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{33}(V_3)^2 = \frac{1}{2}2(-2)^2+\frac{1}{2}2(-1)^2+\frac{1}{2}4(2)^2 =13\,\mu\mathrm{J}</math></center>