Ver el código de «Coches frenando en una autopista»

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>.  En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero. 
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que   los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por  <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 = v_0 - a_0 t\\
\\
x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
 v_0 & 0<t\leq t_f\\
 v_0 - a_0(t-t_f)  & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
 v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
 v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2  & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada  <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
<center>
<math>
d(t) = x_2 - x_1 = 
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\leq t_f
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de <math>x_1</math>. La de <math>x_2</math> es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es
<center>
<math>
v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.
</math>
</center>
El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.
Para que los dos coches no colisionen es necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos
<center>
<math>
d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0
</math>
</center>
Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición
<center>
<math>
d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)
</math>
</center>
Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

== Comentario ==
Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0 
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.


[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]