Ver el código de «Cuatro cargas en dos varillas»

==Enunciado==
Se tiene el sistema de 4 cargas de la figura, a la izquierda hay dos cargas iguales +''q'', unidas por una varilla rígida (sin carga). A la derecha hay otra varilla rígida, en cuyos extremos hay cargas opuestas ±''q''. Las cuatro cargas forman un cuadrado de lado ''b''.

Para cada varilla, calcule la fuerza resultante y el momento resultante respecto a su centro de masas (centro de cada varilla).

[[Archivo:4cargas-dos-varillas.png|centro]]
==Varilla izquierda==
===Fuerza resultante===
La fuerza sobre cada carga es la suma de las debidas a las dos cargas de la varilla de la derecha. A su vez, la fuerza resultante sobre la varilla izquierda es la suma de las fuerzas sobre cada una de sus cargas. Si llamamos 1 y 2 a las cargas de la varilla izquierda y 3 y 4 a las de la derecha (de arriba abajo en ambos casos), la fuerza resultante es

<center><math>\vec{F}_I=\vec{F}_{3\to 1}+\vec{F}_{4\to 1}+\vec{F}_{3\to 2}+\vec{F}_{4\to 2}</math></center>

Para cada una de ellas, se cumple

<center><math>\vec{F}_{i\to j}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_iq_j(\vec{r}_j-\vec{r}_i)}{|\vec{r}_j-\vec{r}_i|^3}</math></center>

Tenemos que

<center><math>\vec{F}_{3\to 1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2(-b\vec{\imath})}{b^3}=-F_0 \vec{\imath}</math></center>

donde llamamos <math>F_0 = q^2/(4\pi\varepsilon_0 b^2)</math>, cantidad que aparecerá repetidamente. Para el siguiente par

<center><math>\vec{F}_{4\to 1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-q^2)(-b\vec{\imath}+b\vec{\jmath})}{(\sqrt{2})b^3}=\frac{F_0}{2\sqrt{2}}\left(\vec{\imath} -\vec{\jmath}\right)</math></center>

y de la misma manera

<center><math>\vec{F}_{3\to 2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(q^2)(-b\vec{\imath}-b\vec{\jmath})}{(\sqrt{2})b^3}=\frac{F_0}{2\sqrt{2}}\left(-\vec{\imath} -\vec{\jmath}\right)</math></center>

y

<center><math>\vec{F}_{4\to 2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-q^2)(-b\vec{\imath})}{b^3}=F_0 \vec{\imath}</math></center>

La suma de estas cuatro cantidades es

<center><math>\vec{F}_I = F_0\left(-\vec{\imath}+\frac{1}{2\sqrt{2}}(\vec{\imath} -\vec{\jmath})+\frac{1}{2\sqrt{2}}(-\vec{\imath} -\vec{\jmath})+\vec{\imath}\right)=-\frac{F_0}{\sqrt{2}}\vec{\jmath}</math></center>

Vemos que resulta una fuerza neta que ni es de atracción ni de repulsión, sino que va dirigida a lo largo de la varilla.

===Momento resultante===
==Varilla derecha==
Para la fuerza resultante sobre la varilla derecha podemos hacer también la suma vectorial de las cuatro fuerzas, pero es más simple aplicar la tercera ley de Newton.

<center><math>\vec{F}_D=-\vec{F}_I = \frac{F_0}{\sqrt{2}}\vec{\jmath}</math></center>