Ver el código de «Partícula en aro con diferentes métodos (MRGIC)»

= Enunciado =
== [[Partícula en aro con diferentes métodos (MRGIC) | Partícula en aro con diferentes métodos]]==
[[Archivo:ParticulaAro.png|sinmarco|derecha]]
Se tiene un aro circular de radio <math>R</math> contenido en un plano vertical.  Engarzado en él hay una masa <math>m</math> que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad. 
# Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuación de movimiento de la masa usando el Principio de D'Alembert.
# Repite el primer apartado usando la energía cinética y fuerzas generalizadas.
# Repite el primer apartado usando la Función de Lagrange.
# Repite el primer apartado usando el Prinicipio de Liberación.
# Repite el primer apartado usando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
# Consideremos ahora que el vínculo entre la partícula y el aro es rugoso, con un coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. Determina las ecuaciones de movimiento usando el Principio de Liberación.

= Solución =

== Principio de D'Alembert ==
[[Archivo:ParticulaAroDAlembert.png|sinmarco|derecha]]
Primero identificamos el número de grados de libertad. La partícula está sometida a dos vínculos. Usando coordenadas cilíndricas estos vínculos se expresan
<center>
<math>
r = R, \qquad z=0.
</math>
</center>
Por tanto, la partícula tiene un grado de libertad. Vamos a usar la coordenada <math>\theta </math> para trabajar. Los vectores de posición,  velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{r} = R\,\vec{u}_{r},\\
\vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}
</math>
</center>
La única fuerza aplicada es el peso, como se indica en la figura. Proyectándolo cilíndricas tenemos
<center>
<math>
\vec{P}_m = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta}.
</math>
</center>
El Principio de D'Alembert establece que, en cualquier desplazamiento virtual, debe cumplirse
<center>
<math>
(\vec{P}_m - m\vec{a})\cdot\delta\vec{r} = 0.
</math>
</center>
Como sólo hay un grado de libertad, el desplazamiento virtual mas general es
<center>
<math>
\delta\vec{r} = \left(\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial\theta}\right)\,\delta\theta
=
R\,\dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta}\,\delta\theta = R\delta\theta\,\vec{u}_{\theta}.
</math>
</center>
Recordemos que en coordenadas cilíndricas se tiene
<center>
<math>
\dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta} = \vec{u}_{\theta}, \qquad
\dfrac{\partial\vec{u}_{\theta}}{\partial\theta} = -\vec{u}_{r}.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{P}_m - m\vec{a} = m(g\cos\theta - R\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r - m(g\mathrm{sen}\,\theta + R\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}.
</math>
</center>
Aplicando el Principio de D'Alembert, obtenemos la ecuación de movimiento
<center>
<math>
R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0.
</math>
</center>

== Con la energía cinética ==
Al haber sólo un grado de libertad, hay una sola ecuación de Lagrange
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial T}{\partial\theta} = Q_{\theta}.
</math>
</center>

La energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta} 
\Rightarrow 
\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta},
\\
\dfrac{\partial T}{\partial\theta} = 0.
\end{array}
</math>
</center>
La fuerza generalizada es debida a la acción del peso. Es decir
<center>
<math>
Q_{\theta} = \vec{P}_m\cdot\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta.
</math>
</center>
Finalmente, la ecuación de movimiento es, nuevamente
<center>
<math>
R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0.
</math>
</center>

== Con la función de Lagrange ==
Al ser el peso una fuerza conservativa, podemos asignarle una energía potencial. Tomando como altura de referencia el centro del aro, tenemos
<center>
<math>
U = -mgR\cos\theta.
</math>
</center>
La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + mgR\cos\theta.
</math>
</center>
La ecuación de Lagrange es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = 0.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta} 
\Rightarrow 
\dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta},
\\
\dfrac{\partial L}{\partial\theta} =  -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta.
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto la ecuación de movimiento es, de nuevo
<center>
<math>
R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0.
</math>
</center>