Transformación Δ-Y (delta-estrella)

Enunciado

En la transformación Δ-Y (delta-estrella) se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres condensadores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres condensadores unidos a un nodo central descargado.

1. Demuestre que dadas las capacidades de la estrella Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3} , las capacidades de la delta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}} , $C_{13}$ y $C_{23}$ vienen dadas por

${\begin{array}{ccccc}C_{12}={\dfrac {C_{1}C_{2}}{S}}&\qquad &C_{13}={\dfrac {C_{1}C_{3}}{S}}&\qquad &C_{23}={\frac {C_{2}C_{3}}{S}}\\&&&&\\&&S=C_{1}+C_{2}+C_{3}&&\end{array}}$

1. Demuestre las relaciones inversas: dadas las capacidades de la delta, $C_{12}$, $C_{13}$ y $C_{23}$, las capacidades de la estrella, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3} . vienen dadas por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ccccc}C_1=\dfrac{P}{C_{23}}&\qquad& C_2=\dfrac{P}{C_{13}}&\qquad& C_3=\dfrac{P}{C_{12}}\\ &&&& \\ &&P=C_{12} C_{13}+C_{12} C_{23}+C_{13} C_{23}&&\end{array}}

1. Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las capacidades valen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=20\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}=30\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{23}=12\,\mathrm{nF}} .
2. Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=100\,\mathrm{pF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=400\,\mathrm{pF}} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3=500\,\mathrm{pF}} .
3. Para los dos apartados anteriores, suponga que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_1=10\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_2=5\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_3=0\,\mathrm{V}} . Para las dos configuraciones equivalentes calcule la energía almacenada y compruebe que se llega al mismo resultado.

De la estrella a la delta

Cuando tenemos voltajes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_3} aplicados en los respectivos nodos, la carga en las placas conectadas al nodo 1 de la delta es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1=C_{12}(V_1-V_2)+C_{13}(V_1-V_3)}

En la estrella, la misma carga es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1=C_1(V_1-V_0)}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0} el voltaje del nodo central. Para hallar este voltaje observamos que en el conductor central no hay carga (no puede haber llegado de ninguna manera), por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_a(V_0-V_1)+C_2(V_0-V_2)+C_3(V_0-V_3) = 0\qquad\Rightarrow\qquad V_0=\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}}

Llevamos esto a la expresión de la carga y nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1=C_2(V_1-V_0) =C_1\left(V_1-\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}\right)=\frac{C_1C_2(V_1-V_2)+C_1C_3(V_1-V_3)}{S}}

con

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=C_1+C_2+C_3}

Comparando esta expresión con la correspondiente a la delta obtenemos la equivalencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=\dfrac{C_1 C_2}{S}\qquad\qquad C_{13}=\dfrac{C_1 C_3}{S}}

Si operamos de la misma manera con la carga del conductor 2 obtenemos la equivalencia restante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{23}=\dfrac{C_2 C_3}{S}}

De la estrella a la delta

Para obtener la relación inversa, debemos despejar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3} de las relaciones anteriores, lo que no es trivial.

Comenzamos calculando la cantidad P definida en el enunciado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=\frac{C_1^2 C_2 C_3}{S^2}+\frac{C_1 C_2^2 C_3}{S^2}+\frac{C_1 C_2 C_3^2}{S^2}}

Extraemos aquí factor común

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=\frac{C_1C_2C_3(C_1+C_2+C_3)}{S^2}\frac{C_1C_2C_3S}{S^2}=\frac{C_1C_2C_3}{S}}

y, una vez que tenemos esta identidad queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=\dfrac{C_1 C_2}{S}=\frac{P}{C_3}\qquad\Rightarrow\qquad C_3=\frac{P}{C_{12}}}

y, de la misma manera,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=\dfrac{P}{C_{23}}\qquad\qquad C_2=\dfrac{P}{C_{13}}}

Estrella equivalente a una delta

En el caso particular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=20\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}=30\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{23}=12\,\mathrm{nF}} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=(20\cdot 30 + 20\cdot 12 + 30\cdot 12)\mathrm{nF}^2=1200\,\mathrm{nF}^2}

lo que nos da las capacidades de la estrella

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=\frac{P}{C_{23}}=\frac{1200}{12}\,\mathrm{nF}=100\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_2=\frac{1200}{30}\,\mathrm{nF}=40\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_3=\frac{1200}{20}\,\mathrm{nF}=60\,\mathrm{nF}}

Delta equivalente a una estrella

Si tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=100\,\mathrm{pF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=400\,\mathrm{pF}} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3=500\,\mathrm{pF}} hallamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=C_1+C_2+C_3=1000\,\mathrm{pF}}

y obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}}      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}}      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}}

Comparación de la energía

Primer caso

Si nos dan Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_1=10\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_2=5\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_3=0\,\mathrm{V}} , la delta nos da la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}}

Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0=\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}=\frac{100\cdot 10+40\cdot 5+60\cdot 0}{100+40+60}\,\mathrm{V}=6\,\mathrm{V}}

y esto nos da la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_1(V_1-V_0)^2+\frac{1}{2}C_2(V_2-V_0)^2+\frac{1}{2}C_3(V_3-V_0)^2=} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\frac{1}{2}100\cdot 4^2+\frac{1}{2}60\cdot 1^2+\frac{1}{2}40\cdot 6^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}}

En el segundo caso

Para la estrella calculamos en primer lugar el voltaje del nodo central

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0=\frac{100\cdot 10+400\cdot 5+500\cdot 0}{100+400+500} = 3\,\mathrm{V}}

y estpo nos da la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}100\cdot 7^2+\frac{1}{2}400\cdot 2^2+\frac{1}{2}500\cdot 3^2\right)\,\mathrm{pJ}=5.5\,\mathrm{nJ}}

Empleando la delta equivalente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}40\cdot 5^2+\frac{1}{2}50\cdot 10^2+\frac{1}{2}200\cdot 5^2\right)\,\mathrm{pJ}=5.5\,\mathrm{nJ}}