Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-g\vec{k}}
una posición inicial nula (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0=\vec{0}}
) y una velocidad inicial que forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}
con la horizontal y tiene rapidez inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
.
Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
Posición, velocidad y aceleración
Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2}
La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0 =\vec{0}}
mientras que la velocidad inicial posee módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\,}
y forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}
con la horizontal
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lo que nos da el vector de posición en cada instante
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Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}}
La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.
Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}}
Posición
Velocidad
Aceleración
Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura
El instante en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es aquel en el cual el proyectil alcanza su máxima altura. Ésta se alcanza cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z}
tiene un máximo, esto es, cuando la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z}
de la velocidad es nula
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⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,t_1 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}}
La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}\,\,;}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath}\,\,;}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=-g\,\vec{k}}
Celeridad
La celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale
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Vector tangente
Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_1}{v_1}=\vec{\imath}}
Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura
Aceleración tangencial
Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}}
Para el instante señalado es
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Esta nulidad de la aceleración tangencial sólo se produce en el punto de la trayectoria que estamos analizando (punto de máxima altura), y nos informa de que la celeridad del proyectil alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.
En forma vectorial la aceleración tangencial es
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que nos da
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Aceleración normal
Una vez que tenemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración normal restando
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Lo que nos da:
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En módulo, esta aceleración normal vale
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Vector normal
El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo
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y nos da
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Vemos que el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al vector tangente.
Podemos hallar el vector binormal multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal
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que da
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El vector binormal calculado en cualquier otro instante del movimiento sería el mismo, ya que estamos ante una trayectoria plana (vector binormal constante).
Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura
Radio de curvatura
Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como
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Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura
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El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal
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lo que nos da, para este punto
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