Una partícula de masa , realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva de un eje cartesiano OX. Cuando la distancia
entre la partícula y el origen supera una cierta longitud conocida, la partícula es atraída hacia por una fuerza de módulo (siendo una constante); pero, sin embargo, cuando , la partícula es repelida desde por una fuerza de módulo .
Determine y represente gráficamente la energía potencial de la partícula en función de su coordenada (considerando que dicha función es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en ).
Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo instantáneo en el punto de coordenada , determine su energía mecánica.
¿En qué otro punto alcanzará la partícula el reposo instantáneo (punto de retorno)?
Energía potencial
Obtenemos la energía potencial integrando la fuerza desde el infinito hasta una cierta posición. Dado que la fuerza está definida por tramos, debemos distinguir dos casos.
Región x>b
La fuerza en esta región es atractiva, por lo que su sentido es hacia el origen y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = -\frac{mk}{x^2}}
Integrando esta cantidad desde el infinito hasta un cierto valor de x
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(x>b) = -\int_{\infty}^x F\,\mathrm{d}x=\int_{\infty}^x \frac{mk}{x^2}\mathrm{d}x = -\frac{mk}{x}}
Región x<b
En la región cercana al origen, la fuerza es repulsiva
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = +\frac{kbm}{x^3}}
Para hallar la energía potencial en esta región debemos integrar de nuevo desde el infinito hasta un cierto valor de x, pero al hacerlo debemos tener en cuenta que para
recorrer este camino debemos pasar por toda la región Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x>b}
. Por ello, debemos descomponer
la integral en dos tramos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(x<b) = -\int_{\infty}^x F\,\mathrm{d}x = -\int_{\infty}^b F\,\mathrm{d}x- \int_{b}^xF\,\mathrm{d}x}
Para la primera integral debemos emplear la fuerza exterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{\infty}^b \frac{mk}{x^2}\mathrm{d}x = -\frac{mk}{b}}
y para la segunda la interior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\int_{b}^x \frac{mkb}{x^3}\mathrm{d}x = \frac{mkb}{2x^2}-\frac{mk}{2b}}
Sumando las dos contribuciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(x<b) = \frac{mkb}{2x^2}-\frac{3mk}{2b}}
Reuniendo este resultado con el de la sección anterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(x) = \begin{cases}\displaystyle \frac{mkb}{2x^2}-\frac{3mk}{2b} & x< b \\ & \\ \displaystyle -\frac{mk}{x} & x> b \end{cases}}
Energía mecánica
En un punto de reposo instantáneo, la energía cinética es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=0\,}
y la potencial la obtenemos sustituyendo el valor de la posición. Puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2b>b}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(2b) = -\frac{km}{2b}}
la energía mecánica es la suma de estas dos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = 0 -\frac{km}{2b}=-\frac{km}{2b}}
Punto de retorno
El segundo punto de retorno es aquél para el cual la energía cinética vuelve a anularse y la energía mecánica coincide con la potencial. Este punto estará en la región Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x < b}
. Igualando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(x) = \frac{kmb}{2x^2}-\frac{3km}{2b}=-\frac{km}{2b}\,\,\,}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,x = \frac{b}{\sqrt{2}}}
