No Boletín - Cuestión sobre tres velocidades (Ex.Feb/14)

Enunciado

Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido vienen dadas por:

Punto	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}} (m)	${\vec {v}}$ (m/s)
A	${\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$	$-{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}$
B	$2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}$	$-{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$
C	${\vec {0}}$	$-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

(a) Estos datos son incompatibles con la rigidez

(b) La velocidad de deslizamiento (segundo invariante) vale $v_{d}=-\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {6}}}\,\,\mathrm {m/s} \,$

(c) La velocidad angular (primer invariante) vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{rad/s}\,}

(d) El eje instantáneo de rotación pasa por el punto de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1,1,0)\,}

Equiproyectividad. Descartando (a)

La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ} }

Sometiendo a examen a cada par de puntos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll}\overrightarrow{AB}=\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k} & \,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=(\,-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\cdot(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,)=-1 \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=(\,-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\cdot(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,)=-1\end{array}\right. \\ \\ \overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k} & \,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=(\,-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)=3 \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=(\,-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)=3\end{array}\right. \\ \\ \overrightarrow{BC}=-2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=(\,-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\cdot(-2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}\,)=1 \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=(\,-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\cdot(-2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}\,)=1\end{array}\right.\end{array} }

Queda comprobado que los datos del enunciado son compatibles con la rigidez, y por tanto la afirmación (a) es FALSA.

Cálculo de la velocidad angular. Descartando (c)

Podemos deducir el vector velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\,} del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\,} debe satisfacer la ecuación:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)=(-\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right| }

E igualando componentes homólogas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} 0 & = & -1-\omega_y-2\omega_z \\ -1 & = & -2+\omega_z+\omega_x \\ -1 & = & -4+2\omega_x-\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_y=-1-2\omega_z\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=1-\omega_z }

Y relacionando de forma análoga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\,} , podemos culminar la deducción de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=\vec{v}_A\,+\,\vec{\omega}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(-\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,-\,\vec{k}\,)=(-\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,-\,4\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1-\omega_z & -1-2\omega_z & \omega_z \\ -1 & 1 & -1 \end{array}\right| }

E igualando componentes homólogas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} -1 & = & -1+1+2\omega_z-\omega_z \\ 1 & = & -2-\omega_z+1-\omega_z \\ -1 & = & -4+1-\omega_z-1-2\omega_z \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_y=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=2 }

Por tanto, el vector velocidad angular (primer invariante) es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s} }

Puede observarse que el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} obtenido no coincide con el propuesto en la afirmación (c). En concreto, la discrepancia está en el signo de la segunda componente. Por tanto, la afirmación (c) es FALSA.

Cálculo de la velocidad de deslizamiento. Descartando (b)

La velocidad de deslizamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d\,} (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto (por ejemplo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} ) sobre la dirección de la velocidad angular:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d=\frac{\vec{v}_B\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\cdot(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)}{|2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,|}=0\,\,\mathrm{m/s} }

El hecho de que el segundo invariante sea nulo (siendo no nulo el primer invariante) implica que el movimiento analizado en este ejercicio se describe canónicamente como una rotación pura. Puede observarse que el valor obtenido de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d\,} no coincide con el propuesto en la afirmación (b). Por tanto, la afirmación (b) es FALSA.

El EIR pasa por el punto (1,1,0). Eligiendo (d)

Sabemos ya que el movimiento analizado es una rotación (primer invariante no nulo y segundo invariante nulo), y que por tanto existe un eje instantáneo de rotación (EIR), el cual es el lugar geométrico de los puntos que tienen velocidad instantánea nula. Denominando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} al punto de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1,1,0)\,} , podemos verificar su pertenencia al EIR comprobando que su velocidad es en efecto nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_D=\vec{v}_C\,+\,\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{CD}=(-\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,-\,\vec{k}\,)\,+\,\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=\vec{0}\,\,\mathrm{m/s}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, D(1,1,0)\in\mathrm{EIR} }

Por tanto, la afirmación (d) es VERDADERA y constituye la respuesta correcta a la pregunta formulada en el enunciado.