No Boletín - Composición de aceleraciones angulares (Ex.Ene/12)

Enunciado

Dados tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2"), se conocen como funciones del tiempo las siguientes velocidades angulares:

${\vec {\omega }}_{01}(t)=\alpha _{0}t\,{\vec {k}}_{0}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}(t)=\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$    ($\alpha _{0}\,$ y $\Omega \,$ son constantes conocidas)

donde $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ es una base ortonormal que se mueve solidariamente con "0".

Determine la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}(t)\,$

Solución

Calculamos, mediante su definición, las aceleraciones angulares de los movimientos {01} y {20}:

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+\underbrace {{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{01}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}=\alpha _{0}\,{\vec {k}}_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

y, a continuación, determinamos la aceleración angular del movimiento {21} mediante la ley de composición de aceleraciones angulares:

${\vec {\alpha }}_{21}=\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\,{\vec {\alpha }}_{01}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\times \,{\vec {\omega }}_{20}=\alpha _{0}\,{\vec {k}}_{0}\,+\,\alpha _{0}t\,{\vec {k}}_{0}\,\times \,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}=-\Omega \alpha _{0}t\,{\vec {\imath }}_{0}+\,\alpha _{0}\,{\vec {k}}_{0}=-\alpha _{0}\left(\Omega t\,{\vec {\imath }}_{0}-{\vec {k}}_{0}\right)$

También se puede calcular la aceleración angular {21} derivando respecto al tiempo la velocidad angular {21} (previamente determinada por composición de velocidades angulares):

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\,+\,\alpha _{0}t\,{\vec {k}}_{0}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\,\times \,{\vec {\omega }}_{21}=-\alpha _{0}\left(\Omega t\,{\vec {\imath }}_{0}-{\vec {k}}_{0}\right)$