No Boletín - Celeridad media a partir de ley horaria (Ex.Oct/13)

Enunciado

Un punto material recorre cierta trayectoria parametrizada naturalmente con la siguiente ley horaria:

$s(t)={\frac {K}{3T-t}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(para} \,\,0\leq t\leq T\mathrm {)}$

siendo $K\,$ y $T\,$ sendas constantes conocidas.

¿Cuál es la celeridad media del punto material en el intervalo de tiempo transcurrido entre $t=0\,\,\,$ y $\,\,t=T\,$?

Solución

En primer lugar, comprobamos que el punto material se mueve siempre en el mismo sentido a lo largo de la trayectoria. En efecto, derivando la ley horaria respecto al tiempo, se obtiene:

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {K}{(3T-t)^{2}}}>0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {(para} \,\,0\leq t\leq T\mathrm {)}$

El signo positivo de esta derivada implica que la trayectoria es recorrida durante todo el intervalo de tiempo en el sentido creciente del parámetro arco, y esto nos permite identificar la distancia $L\,$ recorrida por el punto material como el incremento del parámetro arco $\Delta s\,$:

$L=\Delta s=s(T)-s(0)={\frac {K}{2T}}-{\frac {K}{3T}}={\frac {K}{6T}}$

Finalmente, la celeridad media del punto material en el intervalo de tiempo de interés viene dada por el siguiente cociente:

$\left\langle v\right\rangle ={\frac {L}{\Delta t}}={\frac {K/6T}{T-0}}={\frac {K}{6T^{2}}}$