Ejemplo de campo de velocidades de un sólido

Enunciado

Un campo de velocidades de un sistema de partículas tiene la expresión, en el SI,

${\vec {v}}=(2+6y+3z){\vec {\imath }}+(3-6x-2z){\vec {\jmath }}+(1-3x+2y){\vec {k}}$

1. Pruebe que corresponde al movimiento de un sólido rígido.
2. Determine la velocidad angular y la velocidad de deslizamiento.
3. Halle la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.

Velocidad de un sólido rígido

Para probar que corresponde a un posible movimiento de un sólido rígido, lo más directo es usar la condición cinemática de rigidez, esto es, probar que el campo de velocidades es equiproyectivo. Esto se puede escribir en la forma

$({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})=0$

Consideramos dos puntos arbitrarios

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=x_1\vec{\imath}+y_1\vec{\jmath}+z_1\vec{k}\,\,;}          Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2=x_2\vec{\imath}+y_2\vec{\jmath}+z_2\vec{k}}

con velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1=(2 + 6y_1 + 3z_1)\vec{\imath}+(3 - 6x_1 - 2z_1)\vec{\jmath}+(1 - 3x_1 + 2y_1)\vec{k} }      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2=(2 + 6y_2 + 3z_2)\vec{\imath}+(3 - 6x_2 - 2z_2)\vec{\jmath}+(1 - 3x_2 + 2y_2)\vec{k} }

Hallamos la posición relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2-\vec{r}_1=(x_2-x_1)\vec{\imath}+(y_2-y_1)\vec{\jmath}+(z_2-z_1)\vec{k}= \Delta x\vec{\imath}+\Delta y\vec{\jmath}+\Delta z\vec{k}}

y la velocidad relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2-\vec{v}_1=(6\Delta y + 3\Delta z)\vec{\imath}+(-6\Delta x - 2\Delta z)\vec{\jmath} +(-3\Delta x + 2\Delta y)\vec{k}}

Calculamos su producto escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{v}_2-\vec{v}_1)\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)= (6\Delta y + 3\Delta z)\Delta x+(-6\Delta x - 2\Delta z)\Delta y+ (-3\Delta x + 2\Delta y)\Delta z=0}

Por tanto el campo es equiproyectivo y corresponde al movimiento de un sólido rígido.

Velocidad angular y de deslizamiento

Velocidad angular

Podemos hallar la velocidad angular del movimiento simplemente comparando la expresión del enunciado con la expresión general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(\vec{r}) =\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}}

Sustituyendo la expresión en componentes cartesianas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=v_{x0}\vec{\imath}+v_{y0}\vec{\jmath}+v_{z0}\vec{k}+ \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ x & y & z\end{matrix}\right|}

Desarrollando e igualando nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} 2 + 6 y + 3 z & = & v_{x0}+\omega_yz-\omega_zy\\ 3 - 6 x - 2 z & = & v_{y0}+\omega_zx-\omega_xz \\ 1 - 3 x + 2y & = & v_{z0} + \omega_xy-\omega_yx\end{array} }

Dado que esto se cumple para todo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} debe ser

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k}\,\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0 = 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+\vec{k}}

Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento es la proyección de la velocidad de cualquier punto en la dirección de la velocidad angular. La obtenemos mediante el producto escalar por el vector unitario en dicha dirección. Este vector unitario es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}=\frac{\vec{\omega}}{\omega}=\frac{2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}= \frac{2}{7}\vec{\imath}+\frac{3}{7}\vec{\jmath}-\frac{6}{7}\vec{k} }

resultando la velocidad de deslizamiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d = \vec{v}\cdot\vec{u}=1 }

Y el vector velocidad de deslizamiento se obtiene multiplicando por el unitario en la dirección de la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_d = v_d\vec{u}= \frac{2}{7}\vec{\imath}+\frac{3}{7}\vec{\jmath}-\frac{6}{7}\vec{k} }

EIRMD

Podemos obtener la posición del EIRMD empleando la fórmula vista en la teoría:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_0}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}= \frac{3}{7}\vec{\imath}-\frac{2}{7}\vec{\jmath}+ \lambda\left(2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k}\right)}