http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Volumen_de_un_tetraedro_(G.I.A.)&feed=atom&action=historyVolumen de un tetraedro (G.I.A.) - Historial de revisiones2024-03-29T09:35:02ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Volumen_de_un_tetraedro_(G.I.A.)&diff=538&oldid=prevPedro: Página creada con «== Enunciado == Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas <math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math> están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y <math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros). == Solución == El vector <mat…»2023-09-26T09:41:31Z<p>Página creada con «== Enunciado == Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas <math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math> están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y <math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros). == Solución == El vector <mat…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>== Enunciado ==<br />
Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas <br />
cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas<br />
<math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math><br />
están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y<br />
<math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros).<br />
<br />
== Solución ==<br />
<br />
El vector <math>\overrightarrow{BA}</math> es<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{BA} = -2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k}<br />
</math></center><br />
Podemos verificar que <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\vec{v}_1</math> y <math>\vec{v}_2</math> no son<br />
colineales calculando su producto mixto<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{BA}\cdot(\vec{v}_1\times\vec{v}_2) = \left|<br />
\begin{array}{ccc}<br />
-2 & 2 & -1\\<br />
2 & -3 & 1\\<br />
0 & 0 & 4<br />
\end{array}<br />
\right| = 8\neq 0<br />
</math></center><br />
En cada vértice de un tetraedro concurren tres aristas, luego estos<br />
tres vectores son las aristas que concurren en <math>B</math>. Esto nos define el<br />
tetraedro completo, como se muestra en la figura<br />
[[Imagen:F1_GIA_b02_p11.png|right]]<br />
El volumen de un tetraedro <br />
<center><math><br />
V = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S h<br />
</math></center><br />
donde <math>S</math> es el área de una de las caras y <math>h</math> es la altura, es decir,<br />
la distancia entre esa cara y el vértice opuesto.<br />
<br />
Si consideramos como base la cara formada por los vectores <math>\overrightarrow{BA}</math><br />
y <math>\vec{v}_1</math>, su área es<br />
<center><math><br />
S = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1|,<br />
</math></center><br />
mientras que la altura <math>h</math> es precisamente la proyección de <math>\vec{v}_2</math><br />
sobre la dirección del vector <math>\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1</math><br />
<center><math><br />
h = \frac{\displaystyle\vec{v}_2\cdot(\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1)}<br />
{\displaystyle|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1|}<br />
</math></center><br />
Sustituyendo queda<br />
<center><math><br />
V = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\vec{v}_2\cdot(\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1)=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}\,\mathrm{m^2}<br />
</math></center><br />
<br />
[[Categoría:Vectores libres|0]]<br />
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]<br />
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]<br />
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]</div>Pedro