Partícula en movimiento rectilíneo sometida a fuerza dependiente de la velocidad, Noviembre 2017 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una partícula realiza un movimiento rectilíneo de modo que, en cada instante, su aceleración es $a=-kv^{2}$. En el instante inicial su velocidad es $v_{0}>0$ y está situada en el origen. Calcula su velocidad y posición en cada instante.

Solución

Velocidad

El enunciado nos da una ecuación diferencial para $v(t)$

$a={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-kv^{2}\Longrightarrow \mathrm {d} v=-kv^{2}\mathrm {d} t\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} v}{v^{2}}}=-k\mathrm {d} t$

Integramos en los dos lados

${\dfrac {1}{v}}=kt+C$

La constante queda determinada por la condición inicial

$t=0\Longrightarrow {\dfrac {1}{v_{0}}}=C$

Despejando tenemos

$v(t)={\dfrac {v_{0}}{1+kv_{0}t}}$

Posición

Ahora planteamos la ecuación diferencial para $x(t)$

$v={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {v_{0}}{1+kv_{0}t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x={\dfrac {v_{0}}{1+kv_{0}t}}\,\mathrm {d} t$

Integrando

$x={\dfrac {1}{k}}\ln(1+kv_{0}t)+C$

De nuevo determinamos la constante de integración a partir de la condición inicial

$t=0\Longrightarrow x=0=\ln(1)+C\Longrightarrow C=0$

Entonces

$x={\dfrac {1}{k}}\ln(1+kv_{0}t)$

Comentario sobre la corrección del ejercicio en la Prueba de Control

Una de las opciones ofrecidas en el test de la Prueba era, para la velocidad

$v=v_{0}-kv^{2}t,$

y para la posición

$x=v_{0}t-{\dfrac {1}{2}}kv^{2}t^{2}.$

Esto no es correcto. Estas expresiones resultan de aplicar las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, pero en este caso la aceleración no es constante, $a$ depende de la velocidad. Hay que integrar la ecuación diferencial, como hemos hecho arriba.