Enunciado

Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de m.

2) Ser ortogonal al vector m.

3) Formar junto a los vectores m y m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³

Solución

Exigiremos a un vector genérico las tres condiciones dadas. Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI).

La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de debe ser:

La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:

El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:

Sustituyendo (2) y (3) en (1) y resolviendo la ecuación resultante, se obtienen dos soluciones para . Y a cada una de esas dos soluciones de le corresponde mediante (2) una solución en :

Atendiendo a la duplicidad de signo en la solución obtenida para la componente en (3), podemos finalmente concluir que existen cuatro vectores que satisfacen las tres condiciones dadas, a saber: