Teoremas del seno y del coseno

Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,cos(\gamma )$

y del seno

${\frac {\mathrm {sen} \,\alpha }{a}}={\frac {\mathrm {sen} \,\beta }{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,\gamma }{c}}$

en un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$, y ángulos opuestos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$.

Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

${\vec {a}}={\vec {b}}+{\vec {c}}$

o, equivalentemente

${\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {c}}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

$({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=c^{2}$

Desarrollando el producto escalar

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=c^{2}$

El ángulo que forman los vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ es $\gamma$ por lo que finalmente obtenemos

$a^{2}-2ab\,\cos \gamma +b^{2}=c^{2}$

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

$A={\frac {1}{2}}\left|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\right|={\frac {1}{2}}\left|{\vec {b}}\times {\vec {c}}\right|={\frac {1}{2}}\left|{\vec {a}}\times {\vec {c}}\right|$

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

$A={\frac {ab\,\mathrm {sen} \,\gamma }{2}}={\frac {bc\,\mathrm {sen} \,\alpha }{2}}={\frac {ac\,\mathrm {sen} \,\beta }{2}}$

Dividiendo por el producto $abc$ y multiplicando por 2 nos queda

${\frac {\mathrm {sen} \,\gamma }{c}}={\frac {\mathrm {sen} \,\alpha }{a}}={\frac {\mathrm {sen} \,\beta }{b}}$

que es el teorema del seno.