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Línea 1: |
| == Enunciado ==
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| [[Imagen:F1_GIC_Varilla_colgando_de_cuerda_enunciado.png|right]]
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| Una barra homogénea de masa <math>M</math> y longitud <math>L</math> está apoyada en el suelo y sujeta por una cuerda como se indica en la figura. El ángulo entre
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| la cuerda y la barra es <math>\pi/2</math>. El contacto entre la barra y el suelo es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. El peso de la barra se aplica en su centro de masas. El ángulo que forma la barra con el suelo es <math>\alpha</math>.
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| # En situación de equilibrio estático, calcula la tensión en la cuerda
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| # Calcula la componente normal de la fuerza sobre la barra en el punto <math>O</math>.
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| # Fijado el valor de <math>\alpha</math>, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la barra no deslice en el punto <math>O</math>?
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| == Solución ==
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| [[Imagen:F1_GIC_Varilla_colgando_de_cuerda_fuerzas.png|right]]
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| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la varilla: su peso, la tensión de la cuerda (dirigida a lo largo de la cuerda) y las fuerzas en el punto <math>O </math>: la componente normal y la tangencial de rozamiento. En el sistema de ejes de la figura estos vectores se escriben
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P} = -Mg\,\vec{\jmath}\\
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| \vec{T}^A = -T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
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| \vec{N}^O = N^O\,\vec{\jmath}\\
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| \vec{F}_r^O = F_r^O\,\vec{\imath}
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Las condiciones de equilibrio son que la suma de fuerzas debe ser cero y que el momento neto respecto a un punto debe ser cero. De la primera condición obtenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{P} +
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| \vec{T} +
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| \vec{N}^O +
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| \vec{F}_r^O = \vec{0}
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| \Longrightarrow
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| \left\{
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| \begin{array}{ll}
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| (X): F_r^O = T\,\mathrm{sen}\,\alpha\\
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| (Y): N^O + T\cos\alpha = Mg
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| \end{array}
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| \right.
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| </math>
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| </center>
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| Calculamos los momentos respecto al punto <math>O </math>. De este modo nos quedará una ecuación para <math>T </math>. Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \overrightarrow{OG}\times\vec{P} =
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| \dfrac{1}{2}\left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times (-Mg\,\vec{\jmath}) = -\dfrac{1}{2}MgL\cos\alpha\,\vec{k}
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| \\
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| \overrightarrow{OA}\times\vec{T} =
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| \left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times \left(-T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\right) = TL\,\vec{k}
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| La suma de los dos momentos debe ser nula, de donde obtenemos
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| <center>
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| <math>
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| T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha
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| </math>
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| </center>
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| Obtenemos así las tres fuerzas
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\\
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| \\
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| F_r^O = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha\\
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| \\
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| N^O = Mg\,\left(1-\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha\right)
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| El equilibrio puede romperse por deslizamiento en el suelo. La condición para que esto no ocurra es
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{F}^O_r|\leq|\vec{N}^O|
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| \Longrightarrow
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| \mu \geq \dfrac{\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2-\cos^2\alpha}
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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