Diferencia entre las páginas «Archivo:F1 GIC Disco apoyado en barra fuerzas.png» y «Varilla colgando de cuerda, Enero 2015 (G.I.C.)»

Revisión actual - 10:21 3 nov 2023

Enunciado

Una barra homogénea de masa $M$ y longitud $L$ está apoyada en el suelo y sujeta por una cuerda como se indica en la figura. El ángulo entre la cuerda y la barra es $\pi /2$ . El contacto entre la barra y el suelo es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático $\mu$ . El peso de la barra se aplica en su centro de masas. El ángulo que forma la barra con el suelo es $\alpha$ .

En situación de equilibrio estático, calcula la tensión en la cuerda
Calcula la componente normal de la fuerza sobre la barra en el punto $O$ .
Fijado el valor de $\alpha$ , ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la barra no deslice en el punto $O$ ?

Solución

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la varilla: su peso, la tensión de la cuerda (dirigida a lo largo de la cuerda) y las fuerzas en el punto $O$ : la componente normal y la tangencial de rozamiento. En el sistema de ejes de la figura estos vectores se escriben

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-Mg\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {T}}^{A}=-T\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+T\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}^{O}=N^{O}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}_{r}^{O}=F_{r}^{O}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Las condiciones de equilibrio son que la suma de fuerzas debe ser cero y que el momento neto respecto a un punto debe ser cero. De la primera condición obtenemos

${\vec {P}}+{\vec {T}}+{\vec {N}}^{O}+{\vec {F}}_{r}^{O}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{ll}(X):F_{r}^{O}=T\,\mathrm {sen} \,\alpha \\(Y):N^{O}+T\cos \alpha =Mg\end{array}}\right.$

Calculamos los momentos respecto al punto $O$ . De este modo nos quedará una ecuación para $T$ . Tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OG}}\times {\vec {P}}={\dfrac {1}{2}}\left(L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\right)\times (-Mg\,{\vec {\jmath }})=-{\dfrac {1}{2}}MgL\cos \alpha \,{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OA}}\times {\vec {T}}=\left(L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\right)\times \left(-T\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+T\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\right)=TL\,{\vec {k}}\end{array}}$

La suma de los dos momentos debe ser nula, de donde obtenemos

$T={\dfrac {1}{2}}Mg\cos \alpha$

Obtenemos así las tres fuerzas

${\begin{array}{l}T={\dfrac {1}{2}}Mg\cos \alpha \\\\F_{r}^{O}={\dfrac {1}{2}}Mg\cos \alpha \,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\N^{O}=Mg\,\left(1-{\dfrac {1}{2}}\cos ^{2}\alpha \right)\end{array}}$

El equilibrio puede romperse por deslizamiento en el suelo. La condición para que esto no ocurra es

$|{\vec {F}}_{r}^{O}|\leq |{\vec {N}}^{O}|\Longrightarrow \mu \geq {\dfrac {\cos \alpha \,\mathrm {sen} \,\alpha }{2-\cos ^{2}\alpha }}$

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Disco apoyado sobre pared y varilla, Enero 2015 (G.I.C.)

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+== Enunciado ==
+[[Imagen:F1_GIC_Varilla_colgando_de_cuerda_enunciado.png|right]]
+Una barra homogénea de masa <math>M</math> y longitud <math>L</math> está apoyada en el suelo y sujeta por una cuerda como se indica en la figura. El ángulo entre
+la cuerda y la barra es <math>\pi/2</math>. El contacto entre la barra y el suelo es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. El peso de la barra se aplica en su centro de masas. El ángulo que forma la barra con el suelo es <math>\alpha</math>.
+# En situación de equilibrio estático, calcula la tensión en la cuerda
+# Calcula la componente normal de la fuerza sobre la barra en el punto <math>O</math>.
+# Fijado el valor de <math>\alpha</math>, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la barra no deslice en el punto <math>O</math>?
+== Solución ==
+[[Imagen:F1_GIC_Varilla_colgando_de_cuerda_fuerzas.png|right]]
+La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la varilla: su peso, la tensión de la cuerda (dirigida a lo largo de la cuerda) y las fuerzas en el punto <math>O </math>: la componente normal y la tangencial de rozamiento. En el sistema de ejes de la figura estos vectores se escriben
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\vec{P} = -Mg\,\vec{\jmath}\\
+\vec{T}^A = -T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
+\vec{N}^O = N^O\,\vec{\jmath}\\
+\vec{F}_r^O = F_r^O\,\vec{\imath}
+\end{array}
+</math>
+</center>
+Las condiciones de equilibrio son que la suma de fuerzas debe ser cero y que el momento neto respecto a un punto debe ser cero. De la primera condición obtenemos
+<center>
+<math>
+\vec{P}  +
+\vec{T} +
+\vec{N}^O  +
+\vec{F}_r^O = \vec{0}
+\Longrightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+(X): F_r^O = T\,\mathrm{sen}\,\alpha\\
+(Y): N^O + T\cos\alpha = Mg
+\end{array}
+\right.
+</math>
+</center>
+Calculamos los momentos respecto al punto <math>O </math>. De este modo nos quedará una ecuación para <math>T </math>. Tenemos
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\overrightarrow{OG}\times\vec{P} =
+\dfrac{1}{2}\left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times (-Mg\,\vec{\jmath}) = -\dfrac{1}{2}MgL\cos\alpha\,\vec{k}
+\\
+\overrightarrow{OA}\times\vec{T} =
+\left(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times \left(-T\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + T\cos\alpha\,\vec{\jmath}\right) = TL\,\vec{k}
+\end{array}
+</math>
+</center>
+La suma de los dos momentos debe ser nula, de donde obtenemos
+<center>
+<math>
+T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha
+</math>
+</center>
+Obtenemos así las tres fuerzas
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+T = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\\
+\\
+F_r^O = \dfrac{1}{2}Mg\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha\\
+\\
+N^O = Mg\,\left(1-\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha\right)
+\end{array}
+</math>
+</center>
+El equilibrio puede romperse por deslizamiento en el suelo. La condición para que esto no ocurra es
+<center>
+<math>
+|\vec{F}^O_r|\leq|\vec{N}^O|
+\Longrightarrow
+\mu  \geq \dfrac{\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2-\cos^2\alpha}
+</math>
+</center>
+[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
+[[Categoría:Problemas de examen]]
+[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]

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