Enunciado

El semiaro de la figura, de radio , está articulado en , de modo que rota alrededor de él. En el extremo del seimaro se encuentra conectada una barra , de longitud , que es siempre tangente al semiaro en . El ángulo que forma la línea con el eje es .

  1. Escribe el vector de posición del punto
  2. Escribe el vector de posición del punto
  3. ¿Cuál es el valor de para que los puntos , y estén alineados en todo instante?
  4. La celeridad del punto es , constante en el tiempo. Si en el instante inicial , ¿cómo es la ley horaria ?
  5. Supongamos ahora que la ley horaria es de la forma , con constante. Escribe el vector tangente en el instante inicial.
  6. ¿Cómo es el radio de curvatura de la trayectoria del punto en todo instante?

Solución

Vectores de posición de los puntos y

En la figura se indica donde aparece el ángulo . El vector de posición del punto es

Construimos el vector como la suma

Del dibujo vemos que

Por tanto el vector pedido es

Condición para que , y estén siempre alineados

Para que esto ocurra debe cumplirse

El vector de posición del punto es . Tenemos

y

Por tanto

Para que los vectores y sean paralelos el ratio de sus componentes deben ser el mismo:

Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición . Aquí ya se puede ver que si , los numeradores son el doble de los denominadores, con lo que se cumple la condición. Si esto se nos pasa, proseguimos multiplicando en aspa

Los términos con productos de senos y cosenos se van. Agrupando los otros y usando que obtenemos

Ley horaria

Ahora consideramos que el ángulo es una función del tiempo . Derivamos el vector de posición respecto del tiempo utilizando la regla de la cadena

Calculamos el módulo de este vector

Igualamos este módulo a , con lo que obtenemos una ecuación diferencial para

Pasamos a la derecha e integramos, imponiendo las condiciones iniciales en los límites de la integral

y obtenemos

Vector tangente en el instante inicial

El vector tangente puede calcularse a partir del vector velocidad

Como nos lo piden en el instante inicial, usamos la condición inicial para simplificar el vector velocidad

El módulo de este vector es

Por tanto el vector tangente en es

Radio de curvatura

La distancia del punto al punto es siempre la misma, el módulo del vector . Como además es una curva plana, pues está siempre en el plano , la trayectoria es una circunferencia. El radio de curvatura es siempre el mismo e igual al radio de la circunferencia: