Partícula recorriendo una espiral, Enero 2015 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ describe una espiral plana con un vector de posición en coordenadas polares ${\vec {r}}(t)=r_{0}\,e^{\theta (t)}\,{\vec {u}}_{r}$, siendo $\theta (t)=\omega t$. Tanto $r_{0}$ como $\omega$ son constantes.

1. Calcula el momento cinético de la partícula respecto del origen.
2. Calcula el momento respecto del origen de la fuerza neta que actúa sobre la partícula.

Solución

Momento cinético

El vector de posición de la partícula es, en polares:

${\vec {r}}=r_{0}e^{\theta (t)}\,{\vec {u}}_{r}$

Derivamos respecto al tiempo para obtener la velocidad

${\vec {v}}=r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }\,{\vec {u}}_{r}+r_{0}e^{\theta }{\dot {\vec {u}}}_{r}=r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })=r_{0}\omega e^{\omega t}\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })$

Hemos usado que $\theta =\omega t$ y ${\dot {\theta }}=\omega$

El momento cinético respecto del origen es

${\vec {L}}_{O}={\vec {r}}\times (m{\vec {v}})=m\omega r_{0}^{2}e^{2\omega t}\,{\vec {k}}$

Momento de la fuerza neta

El teorema del momento cinético dice

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}_{O}$

siendo ${\vec {M}}_{O}$ el momento de la fuerza neta respecto del punto $O$. Derivando en la expresión del apartado anterior tenemos

${\vec {M}}_{O}=2m\omega ^{2}r_{0}^{2}e^{2\omega t}\,{\vec {k}}$