Partícula sobre rampa con muelle, tirada por un cable Septiembre 2015 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ sube deslizándose por un plano inclinado bajo la acción de un cable que tire de ella. El contacto con el plano es rugoso y está caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico $\mu$. El plano inclinado forma un ángulo de $\pi /4$ radianes con la horizontal. El cable gira sin rozamiento en una polea sin masa situada en el punto $A$ y se enrolla en un cilindro en el punto $O$, también sin rozamiento. Tanto la polea como el cilindro tienen radios despreciables. Además un muelle de longitud natural nula, constante elástica $k$ y anclado en el punto $B$ está acoplado a la partícula. La longitud total del cable entre los puntos $A$ y $P$ es una función del tiempo $l(t)=R+{\sqrt {2}}R(1-t/T)$, siendo $T$ una constante con dimensiones de tiempo.

1. Determina en función del tiempo los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula tomando como referencia el punto $O$ y los ejes cartesianos indicados en la figura.
2. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
3. Calcula la fuerza ${\vec {F}}$ que ejerce el cable sobre la partícula en cada instante de tiempo.
4. Calcula el trabajo realizado por el cable y por el muelle en el trayecto entre los puntos $B$ y $O$, así como la variación de energía mecánica de la partícula.

Solución

Vectores posición, velocidad y aceleración

Llamamos $x(t)$ a la distancia a lo largo del eje $OX$ entre el punto $O$ y la partícula, como se indica en la figura. Usando los ejes cartesianos indicados en la figura, el vector de posición puede escribirse

${\overrightarrow {OP}}=x(t)\,{\vec {\imath }}$

El enunciado nos dice que en cada instante la longitud del cable es $l(t)$. De nuevo observando la figura tenemos

$l(t)=R+x(t)\Longrightarrow x(t)=l(t)-R={\sqrt {2}}R\left(1-{\frac {t}{T}}\right)$

Los vectores pedidos son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}={\sqrt {2}}R\left(1-{\dfrac {t}{T}}\right)\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {v}}(t)={\dot {\overrightarrow {OP}}}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}=-{\dfrac {{\sqrt {2}}R}{T}}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {a}}(t)={\dot {\vec {v}}}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}={\vec {0}}\end{array}}$

Diagrama de cuerpo libre y fuerza ejercida por el cable

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula. Hay que recordar que consideramos la partícula puntual, es decir, todas las fuerzas están aplicadas en el mismo punto. En el dibujo se han separado en aras de la claridad.

Usando los ejes de la figura las expresiones de estas fuerzas son las siguientes

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=-F{\vec {\imath }}\\\\M{\vec {g}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,Mg\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,Mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{R}=\mu N\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {F}}_{k}=-k{\overrightarrow {BP}}=-k({\sqrt {2}}R-x(t))\,{\vec {\imath }}={\sqrt {2}}kR{\dfrac {t}{T}}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

El modulo de la fuerza de rozamiento es $|{\vec {F}}_{R}|=\mu |{\vec {N}}|$, pues estamos en régimen dinámico. Su sentido es contrario a la velocidad.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton

${\begin{array}{l}M{\vec {a}}={\vec {F}}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}+M{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}\end{array}}$

En este caso la aceleración de la masa es nula. Obtenemos entonces dos ecuaciones, una por cada componente

${\begin{array}{ll}(X)\to &0=-F+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}Mg+\mu N+{\sqrt {2}}kR{\dfrac {t}{T}}\\\\(Y)\to &0=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}Mg+N\end{array}}$

Resolviendo para $F$ y $N$ llegamos a

${\begin{array}{l}N={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}Mg\\\\F={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}Mg\,(1+\mu )+{\sqrt {2}}kR{\dfrac {t}{T}}\end{array}}$

Las fuerzas son

${\begin{array}{l}{\vec {N}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}Mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}=-\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}Mg\,(1+\mu )+{\sqrt {2}}kR{\dfrac {t}{T}}\right)\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Trabajos realizados y variaciones de energía

La potencia transmitida por el cable a la partícula en cada instante es

$P_{F}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}={\dfrac {MgR}{T}}\,(1+\mu )+{\dfrac {2kR^{2}}{T^{2}}}t$

El tiempo empleado por la partícula en ir del punto $B$ al $O$ es $T$. En ese intervalo temporal el trabajo realizado por el cable es

$W_{F}=\int \limits _{0}^{T}P_{F}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{T}\left({\dfrac {MgR}{T}}\,(1+\mu )+{\dfrac {2kR^{2}}{T^{2}}}t\right)\,\mathrm {d} t=MgR\,(1+\mu )+kR^{2}$

El trabajo realizado por el muelle es igual a la variación de energía potencial elástica del muelle. La distancia entre los puntos $B$ y $O$ es ${\sqrt {2}}R$, por lo que

$W_{k}=-\Delta U_{k}=-(U_{kO}-U_{kB})=-{\dfrac {1}{2}}k({\sqrt {2}}R)^{2}=-kR^{2}$

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y de todas las energías potenciales que se puedan definir en el sistema. En este caso tenemos dos, la energía gravitatoria y la elástica del muelle. La energía cinética de la partícula no cambia, pues su velocidad es constante en todo el trayecto

$\Delta E_{c}=E_{cO}-E_{cB}=0$

Ya hemos calculado la variación de energía elástica

$\Delta U_{k}=kR^{2}$

Para la gravedad escogemos como referencia la altura del punto $B$. Tenemos

$\Delta U_{g}=U_{gO}-U_{gB}=mgR$

Así pues, la variación total de energía mecánica es

$\Delta =\Delta E_{c}+\Delta U_{k}+\Delta U_{g}=mgR+kR^{2}$

Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total realizado sobre la partícula debe ser cero, pues su energía cinética no varía. Podemos ver que el trabajo realizado por el cable es mayor que la variación de energía mecánica. Esto es así porque también tiene que compensar el trabajo negativo realizado por la fuerza de rozamiento. Esta fuerza es constante a lo largo del movimiento, por lo que el trabajo puede calcularse como

$W_{R}={\vec {F}}_{R}\cdot {\overrightarrow {BO}}=-\mu MgR$