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| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado ==
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| [[Imagen:F1_GIC_disco_barra_caja_enunciado.png|right]]
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| El disco de la figura tiene masa <math>M</math> y radio <math>R</math>. Se apoya en el punto <math>B</math> en
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| una barra de masa despreciable y longitud <math>2R</math>, y en el punto <math>D</math> en una caja de masa
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| despreciable. Los contactos en <math>B</math> y <math>D</math> son lisos. A su vez la barra se apoya
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| sobre la caja en el punto <math>A</math>, con contacto también liso. La caja se apoya en el
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| suelo en el punto <math>O</math>, con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente
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| de rozamiento estático <math>\mu</math>. Se aplica una fuerza <math>\vec{F}</math> sobre el punto <math>E</math>
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| de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.
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| #Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
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| #Calcula el valor de <math>\vec{F}</math> para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de <math>\alpha</math>.
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| #Calcula la reacción en el punto <math>O</math> y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso <math>\alpha=\pi/4</math>.
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| #Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso <math>\alpha=\pi/4</math>.
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| == Solución ==
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| === Diagramas de sólido libre ===
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| [[Imagen:F1_GIC_disco_barra_caja_libre.png|right]]
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| La imagen muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos. Los contactos entre el disco, la barra y la caja son lisos. Por tanto las fuerzas de contacto entre ellos sólo tienen componente normal a las superficies. El contacto en <math>O </math> es rugoso, por lo que la fuerza de contacto tiene una componente normal de reacción vincular y una componente tangencial de rozamiento. Aplicando el Principio de Acción y Reacción podemos derivar las siguientes relaciones entre las fuerzas
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{N}^B_{0\to2} = -\vec{N}^B_{2\to0} \\
| |
| \vec{N}^D_{3\to2} = -\vec{N}^D_{2\to3} \\
| |
| \vec{N}^A_{3\to0} = -\vec{N}^A_{0\to3} \\
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| === Fuerza para mantener el equilibrio ===
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| Este apartado puede resolverse rápidamente si consideramos el disco, la barra y la caja como un sólo sólido. Entonces, las fuerzas externas son únicamente
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{F} = F\,\vec{\jmath}\\
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| \\
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| \vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
| |
| \\
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| \vec{N}^O_{1\to3} = N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + N^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
| |
| \\
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| \vec{f}^O_{1\to3} = f^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\imath} -f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} \\
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Para que haya equilibrio el momento externo neto respecto a cualquier punto debe ser cero. Escogemos el punto <math>O </math> para calcular los momentos, pues así nos quitamos las fuerzas de contacto. La condición de equilibrio es
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{OE}\times\vec{F} + \overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = \vec{0}
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| </math>
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| </center>
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| Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{OE}\times\vec{F} = (4R\,\vec{\imath})\times(F\,\vec{\jmath})
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| =
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| 4FR\,\vec{k}
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| </math>
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| </center>
| |
| Por otro lado
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| <center>
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| <math>
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| \left.
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| \begin{array}{l}
| |
| \overrightarrow{OC} = 3R\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath}\\
| |
| \\
| |
| \vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}
| |
| \end{array}
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| \right|
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| \Longrightarrow
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| \overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = -MgR\,(3\cos\alpha - \mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{k}
| |
| </math>
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| </center>
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| La suma de ambos momentos debe anularse, de donde obtenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{F} = \dfrac{Mg}{4}\,(3\cos\alpha - \mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{\jmath}
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| </math>
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| </center>
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| === Fuerzas en el punto <math>O </math>===
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| Ahora aplicamos la condición de suma de fuerzas cero al sistema formado por el disco, la barra y la caja. Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{F} + \vec{P}_2 + \vec{N}^O_{1\to3} + \vec{f}^O_{1\to3}
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| </math>
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| </center>
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| Obtenemos dos ecuaciones, una por cada componente
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| (X) \to N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha + f^O_{1\to3}\cos\alpha = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\
| |
| \\
| |
| (Y) \to N^O_{1\to3}\cos\alpha - f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha = Mg\cos\alpha - F
| |
| \end{array}
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| </math>
| |
| </center>
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| Multiplicando la primera ecuación por <math>\mathrm{sen}\,\alpha </math>, la segunda por <math>\cos\alpha </math> y sumándolas miembro a miembro tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| N^O_{1\to3} = Mg - F\cos\alpha
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| </math>
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| </center>
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| Ahora multiplicamos la primera por <math>\cos\alpha </math>, la segunda por <math>\mathrm{sen}\,\alpha </math> y las restamos miembro a miembro. Obtenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| f^O_{1\to3} = F\,\mathrm{sen}\,\alpha
| |
| </math>
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| </center>
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| La fuerza de rozamiento tiene un valor máximo
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{f}^O_{1\to3}| \leq \mu|\vec{N}^O_{1\to3}|
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Para que la caja no deslice debe cumplirse
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| <center>
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| <math>
| |
| f^O_{1\to3} \leq \mu N^O_{1\to3}
| |
| </math>
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| </center>
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| En el caso <math>\alpha=\pi/4 </math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| F = \dfrac{Mg}{2\sqrt{2}}\\ \\
| |
| N^O_{1\to3} = \dfrac{3}{4}Mg\\ \\
| |
| f^O_{1\to3} = \dfrac{Mg}{4}\\
| |
| \end{array}
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| </math>
| |
| </center>
| |
| Para que haya equilibrio debe cumplirse
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| <center>
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| <math>
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| \mu\geq \dfrac{1}{3}
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| </math>
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| </center>
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| === Fuerzas ejercidas sobre el disco ===
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| Aplicamos la condición de sumatorio de fuerzas nulo para el sistema de fuerzas actuando sobre el disco
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| <center>
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| <math>
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| \vec{P}_2 + \vec{N}^B_{0\to2} + \vec{N}^D_{3\to2} = \vec{0}
| |
| </math>
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| </center>
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| Las fuerzas son
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
| |
| \\
| |
| \vec{N}^B_{0\to2} = N^B_{0\to2}\,\vec{\imath}\\
| |
| \\
| |
| \vec{N}^D_{3\to2} = N^D_{3\to2}\,\vec{\jmath}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
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| </center>
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| Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas:
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| <center>
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| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| N^B_{0\to2} = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\
| |
| N^D_{3\to2} = Mg\cos\alpha
| |
|
| |
| \end{array}
| |
| </math>
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| </center>
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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