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Enunciado

El disco de la figura tiene masa $M$ y radio $R$ . Se apoya en el punto $B$ en una barra de masa despreciable y longitud $2R$ , y en el punto $D$ en una caja de masa despreciable. Los contactos en $B$ y $D$ son lisos. A su vez la barra se apoya sobre la caja en el punto $A$ , con contacto también liso. La caja se apoya en el suelo en el punto $O$ , con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático $\mu$ . Se aplica una fuerza ${\vec {F}}$ sobre el punto $E$ de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.

Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
Calcula el valor de ${\vec {F}}$ para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de $\alpha$ .
Calcula la reacción en el punto $O$ y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso $\alpha =\pi /4$ .
Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso $\alpha =\pi /4$ .

Solución

Diagramas de sólido libre

La imagen muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos. Los contactos entre el disco, la barra y la caja son lisos. Por tanto las fuerzas de contacto entre ellos sólo tienen componente normal a las superficies. El contacto en $O$ es rugoso, por lo que la fuerza de contacto tiene una componente normal de reacción vincular y una componente tangencial de rozamiento. Aplicando el Principio de Acción y Reacción podemos derivar las siguientes relaciones entre las fuerzas

${\begin{array}{l}{\vec {N}}_{0\to 2}^{B}=-{\vec {N}}_{2\to 0}^{B}\\{\vec {N}}_{3\to 2}^{D}=-{\vec {N}}_{2\to 3}^{D}\\{\vec {N}}_{3\to 0}^{A}=-{\vec {N}}_{0\to 3}^{A}\\\end{array}}$

Fuerza para mantener el equilibrio

Este apartado puede resolverse rápidamente si consideramos el disco, la barra y la caja como un sólo sólido. Entonces, las fuerzas externas son únicamente

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=F\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {P}}_{2}=-Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-Mg\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}_{1\to 3}^{O}=N_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+N_{1\to 3}^{O}\,\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {f}}_{1\to 3}^{O}=f_{1\to 3}^{O}\,\cos \alpha \,{\vec {\imath }}-f_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\\end{array}}$

Para que haya equilibrio el momento externo neto respecto a cualquier punto debe ser cero. Escogemos el punto $O$ para calcular los momentos, pues así nos quitamos las fuerzas de contacto. La condición de equilibrio es

${\overrightarrow {OE}}\times {\vec {F}}+{\overrightarrow {OC}}\times {\vec {P}}_{2}={\vec {0}}$

Tenemos

${\overrightarrow {OE}}\times {\vec {F}}=(4R\,{\vec {\imath }})\times (F\,{\vec {\jmath }})=4FR\,{\vec {k}}$

Por otro lado

$\left.{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OC}}=3R\,{\vec {\imath }}+R\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {P}}_{2}=-Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-Mg\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right|\Longrightarrow {\overrightarrow {OC}}\times {\vec {P}}_{2}=-MgR\,(3\cos \alpha -\mathrm {sen} \,\alpha )\,{\vec {k}}$

La suma de ambos momentos debe anularse, de donde obtenemos

${\vec {F}}={\dfrac {Mg}{4}}\,(3\cos \alpha -\mathrm {sen} \,\alpha )\,{\vec {\jmath }}$

Fuerzas en el punto $O$

Ahora aplicamos la condición de suma de fuerzas cero al sistema formado por el disco, la barra y la caja. Tenemos

${\vec {F}}+{\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{1\to 3}^{O}+{\vec {f}}_{1\to 3}^{O}$

Obtenemos dos ecuaciones, una por cada componente

${\begin{array}{l}(X)\to N_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha +f_{1\to 3}^{O}\cos \alpha =Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\(Y)\to N_{1\to 3}^{O}\cos \alpha -f_{1\to 3}^{O}\,\mathrm {sen} \,\alpha =Mg\cos \alpha -F\end{array}}$

Multiplicando la primera ecuación por $\mathrm {sen} \,\alpha$ , la segunda por $\cos \alpha$ y sumándolas miembro a miembro tenemos

$N_{1\to 3}^{O}=Mg-F\cos \alpha$

Ahora multiplicamos la primera por $\cos \alpha$ , la segunda por $\mathrm {sen} \,\alpha$ y las restamos miembro a miembro. Obtenemos

$f_{1\to 3}^{O}=F\,\mathrm {sen} \,\alpha$

La fuerza de rozamiento tiene un valor máximo

$|{\vec {f}}_{1\to 3}^{O}|\leq \mu |{\vec {N}}_{1\to 3}^{O}|$

Para que la caja no deslice debe cumplirse

$f_{1\to 3}^{O}\leq \mu N_{1\to 3}^{O}$

En el caso $\alpha =\pi /4$ tenemos

${\begin{array}{l}F={\dfrac {Mg}{2{\sqrt {2}}}}\\\\N_{1\to 3}^{O}={\dfrac {3}{4}}Mg\\\\f_{1\to 3}^{O}={\dfrac {Mg}{4}}\\\end{array}}$

Para que haya equilibrio debe cumplirse

$\mu \geq {\dfrac {1}{3}}$

Fuerzas ejercidas sobre el disco

Aplicamos la condición de sumatorio de fuerzas nulo para el sistema de fuerzas actuando sobre el disco

${\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{0\to 2}^{B}+{\vec {N}}_{3\to 2}^{D}={\vec {0}}$

Las fuerzas son

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{2}=-Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-Mg\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}_{0\to 2}^{B}=N_{0\to 2}^{B}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {N}}_{3\to 2}^{D}=N_{3\to 2}^{D}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas:

${\begin{array}{l}N_{0\to 2}^{B}=Mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\N_{3\to 2}^{D}=Mg\cos \alpha \end{array}}$

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Partícula sobre rampa con muelle, tirada por un cable Septiembre 2015 (G.I.C.)

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+== Enunciado ==
+[[Imagen:F1_GIC_disco_barra_caja_enunciado.png|right]]
+El disco de la figura tiene masa <math>M</math> y radio <math>R</math>. Se apoya en el punto <math>B</math> en
+una barra de masa despreciable y longitud <math>2R</math>, y en el punto <math>D</math> en una caja de masa
+despreciable. Los contactos en <math>B</math> y <math>D</math> son lisos. A su vez la barra se apoya
+sobre la caja en el punto <math>A</math>, con contacto también liso. La caja se apoya en el
+suelo en el punto <math>O</math>, con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente
+de rozamiento estático <math>\mu</math>. Se aplica una fuerza <math>\vec{F}</math> sobre el punto <math>E</math>
+de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.
+#Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
+#Calcula el valor de <math>\vec{F}</math> para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de <math>\alpha</math>.
+#Calcula la reacción en el punto <math>O</math> y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso <math>\alpha=\pi/4</math>.
+#Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso <math>\alpha=\pi/4</math>.
+== Solución ==
+=== Diagramas de sólido libre ===
+[[Imagen:F1_GIC_disco_barra_caja_libre.png|right]]
+La imagen muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos. Los contactos entre el disco, la barra y la caja son lisos. Por tanto las fuerzas de contacto entre ellos sólo tienen componente normal a las superficies. El contacto en <math>O </math> es rugoso, por lo que la fuerza de contacto tiene una componente normal de reacción vincular y una componente tangencial de rozamiento. Aplicando el Principio de Acción y Reacción podemos derivar las siguientes relaciones entre las fuerzas
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\vec{N}^B_{0\to2} = -\vec{N}^B_{2\to0} \\
+\vec{N}^D_{3\to2} = -\vec{N}^D_{2\to3} \\
+\vec{N}^A_{3\to0} = -\vec{N}^A_{0\to3} \\
+\end{array}
+</math>
+</center>
+=== Fuerza para mantener el equilibrio ===
+Este apartado puede resolverse rápidamente si consideramos el disco, la barra y la caja como un sólo sólido. Entonces, las fuerzas externas son únicamente
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\vec{F} = F\,\vec{\jmath}\\
+\\
+\vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
+\\
+\vec{N}^O_{1\to3} = N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + N^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
+\\
+\vec{f}^O_{1\to3} = f^O_{1\to3}\,\cos\alpha\,\vec{\imath} -f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} \\
+\end{array}
+</math>
+</center>
+Para que haya equilibrio el momento externo neto respecto a cualquier punto debe ser cero. Escogemos el punto <math>O </math> para calcular los momentos, pues así nos quitamos las fuerzas de contacto. La condición de equilibrio es
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OE}\times\vec{F} + \overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = \vec{0}
+</math>
+</center>
+Tenemos
+<center>
+<math>
+\overrightarrow{OE}\times\vec{F} = (4R\,\vec{\imath})\times(F\,\vec{\jmath})
+=
+FR\,\vec{k}
+</math>
+</center>
+Por otro lado
+<center>
+<math>
+\left.
+\begin{array}{l}
+\overrightarrow{OC} = 3R\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath}\\
+\\
+\vec{P}_2 = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}
+\end{array}
+\right|
+\Longrightarrow
+\overrightarrow{OC}\times\vec{P}_2 = -MgR\,(3\cos\alpha - \mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{k}
+</math>
+</center>
+La suma de ambos momentos debe anularse, de donde obtenemos
+<center>
+<math>
+\vec{F} = \dfrac{Mg}{4}\,(3\cos\alpha - \mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{\jmath}
+</math>
+</center>
+=== Fuerzas en el punto <math>O </math>===
+Ahora aplicamos la condición de suma de fuerzas cero al sistema formado por el disco, la barra y la caja. Tenemos
+<center>
+<math>
+\vec{F} + \vec{P}_2 + \vec{N}^O_{1\to3} + \vec{f}^O_{1\to3}
+</math>
+</center>
+Obtenemos dos ecuaciones, una por cada componente
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+(X) \to N^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha + f^O_{1\to3}\cos\alpha = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\
+\\
+(Y) \to N^O_{1\to3}\cos\alpha - f^O_{1\to3}\,\mathrm{sen}\,\alpha = Mg\cos\alpha - F
+\end{array}
+</math>
+</center>
+Multiplicando la primera ecuación por <math>\mathrm{sen}\,\alpha </math>, la segunda por <math>\cos\alpha </math> y sumándolas miembro a miembro tenemos
+<center>
+<math>
+N^O_{1\to3} = Mg - F\cos\alpha
+</math>
+</center>
+Ahora multiplicamos la primera por <math>\cos\alpha </math>, la segunda por <math>\mathrm{sen}\,\alpha </math> y las restamos miembro a miembro. Obtenemos
+<center>
+<math>
+f^O_{1\to3} = F\,\mathrm{sen}\,\alpha
+</math>
+</center>
+La fuerza de rozamiento tiene un valor máximo
+<center>
+<math>
+|\vec{f}^O_{1\to3}| \leq \mu|\vec{N}^O_{1\to3}|
+</math>
+</center>
+Para que la caja no deslice debe cumplirse
+<center>
+<math>
+f^O_{1\to3} \leq \mu N^O_{1\to3}
+</math>
+</center>
+En el caso <math>\alpha=\pi/4 </math> tenemos
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+F = \dfrac{Mg}{2\sqrt{2}}\\ \\
+N^O_{1\to3} = \dfrac{3}{4}Mg\\ \\
+f^O_{1\to3} =  \dfrac{Mg}{4}\\
+\end{array}
+</math>
+</center>
+Para que haya equilibrio debe cumplirse
+<center>
+<math>
+\mu\geq \dfrac{1}{3}
+</math>
+</center>
+=== Fuerzas ejercidas sobre el disco ===
+Aplicamos la condición de sumatorio de fuerzas nulo para el sistema de fuerzas actuando sobre el disco
+<center>
+<math>
+\vec{P}_2 + \vec{N}^B_{0\to2} + \vec{N}^D_{3\to2} = \vec{0}
+</math>
+</center>
+Las fuerzas son
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+\vec{P}_2  = -Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
+\\
+\vec{N}^B_{0\to2} = N^B_{0\to2}\,\vec{\imath}\\
+\\
+\vec{N}^D_{3\to2} = N^D_{3\to2}\,\vec{\jmath}
+\end{array}
+</math>
+</center>
+Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas:
+<center>
+<math>
+\begin{array}{l}
+N^B_{0\to2} = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\
+N^D_{3\to2} = Mg\cos\alpha
+\end{array}
+</math>
+</center>
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Fuerzas en el punto O {\displaystyle O}

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