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| == Enunciado ==
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| [[Imagen:F1_GIC_barra_apoyada_en_escalon_enunciado.png|right]]
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| Una barra homogénea, de longitud <math>L</math> y peso <math>P</math>, está apoyada sobre un escalón de altura <math>d</math> formando un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. El contacto en el punto <math>B</math> es liso, mientras que es rugoso en el punto <math>A</math>, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>.
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| #Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra.
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| #Determina la expresión de las fuerzas que actúan sobre la barra en condiciones de equilibrio estático.
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| #Si <math>\alpha=\pi/4</math>, qué condición debe cumplir <math>d</math> para que se mantenga el equilibrio? ¿El equilibrio se rompe por deslizamiento o por vuelco? Razona la respuesta.
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| == Solución ==
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| === Fuerzas que actúan sobre la barra ===
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| [[Imagen:F1_GIC_barra_apoyada_en_escalon_fuerzas.png|right]]
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| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la barra en su punto de aplicación. Estas son: el peso, aplicado en <math>G </math>, la fuerza normal de reacción del escalón en el punto <math>B </math>, la fuerza normal en <math>A </math> y la fuerza de rozamiento en <math>A </math>.
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| Hay que comentar que la dirección de <math>\vec{N}^B </math> viene definida por la perpendicular a la barra. Como se indica en la figura, forma un ángulo <math>\alpha </math> con la vertical.
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| Señalemos también que <math>\vec{f}^A_r </math> tiene que apuntar hacia la derecha, pues es la única fuerza que puede compensar la componente horizontal de <math>\vec{N}^B </math>.
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| === Fuerzas en equilibrio ===
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| Las condiciones de equilibrio estático del sólido rígido son
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| <center>
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| <math>
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| \sum_i \vec{F}_i= \vec{0}\, \qquad \sum_i\vec{M}^O_i = \vec{0}
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| </math>
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| </center>
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| donde <math>\vec{F}_i </math> son todas las fuerzas que actúan sobre la barra y <math>\vec{M}^O_i </math> es el momento de cada una de las fuerzas respecto a un punto arbitrario <math>O </math>.
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| De la figura vemos que las fuerzas tienen la forma
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}
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| \\
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| \vec{N}^B = -N^B\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + N^B\cos\alpha\vec{\jmath}
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| \\
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| \vec{N}^A = N^A\,\vec{\imath}
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| \\
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| \vec{f}^A_r = f^A_r\,\vec{\imath}
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Aplicamos ahora las condiciones de equilibrio. De la condición de suma de fuerzas nula obtenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{ll}
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| (X): & f_r^A = N^B\,\mathrm{sen}\,\alpha
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| \\
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| (Y): & N^A + N^B\cos\alpha = P
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Tenemos tres incógnitas: <math>N^A </math>, <math>N^B </math>, <math>f^A_r </math>. La ecuación que nos falta viene de la condición de momento neto nulo. Escogemos el punto <math>A </math> para calcular el momento. De este modo ni <math>\vec{N}^A </math> ni <math>\vec{f}^A_r </math> contribuyen al momento neto. La contribución del peso es
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{AG}\times\vec{P} = \dfrac{1}{2}\,(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})\times(-P\,\vec{\jmath})
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| =
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| -\dfrac{1}{2}\,PL\cos\alpha\,\vec{k}
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| </math>
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| </center>
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| Para la fuerza <math>\vec{N}^B </math> tenemos que es perpendicular a <math>\overrightarrow{AB} </math>. Aplicando la definición de producto vectorial tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{AB}\times\vec{N}^B = \overline{AB}N^B\,\vec{k}
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| =
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| \dfrac{dN^B}{\mathrm{sen}\,\alpha}\,\vec{k}
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| </math>
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| </center>
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| Otra forma de calcularlo es usar el vector <math>\overrightarrow{AB} = \dfrac{d}{\tan\alpha}\,\vec{\imath} + d\,\vec{\jmath} </math> y hacer el producto vectorial con <math>\vec{N}^B </math>.
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| La suma de ambos momentos debe ser nula. Por tanto
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| <center>
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| <math>
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| N^B = \dfrac{L}{2d}\,P\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha
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| </math>
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| </center>
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| Usando esto en las dos ecuaciones previas obtenemos la expresión de las fuerzas que actúan sobre la barra
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{N}^A = P\,\left(1-\dfrac{L}{2d}\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos^2\alpha\right)\,\vec{\jmath}
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| \\ \\
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| \vec{f}^A_r = \dfrac{L}{2d}\,P\,\mathrm{sen}^2\,\alpha\cos\alpha\,\vec{\imath}
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| \\ \\
| |
| \vec{N}^B = \dfrac{L}{2d}\,P\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha\,(-\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + \cos\alpha\,\vec{\jmath})
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| === Condiciones de equilibrio ===
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| El equilibrio sólo puede romperse por deslizamiento en el punto <math>A </math>. La barra no puede volcar manteniendo el punto <math>A </math> sin moverse, pues la fuerza <math>\vec{N}^B </math> siempre será capaz de compensar el momento que ejerce el peso respecto del punto <math>A </math>.
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| La condición para que haya equilibrio frente a deslizamiento es
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{f}^A_r| \leq \mu |\vec{N}^A|
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| </math>
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| </center>
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| que se traduce en
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| <center>
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| <math>
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| \dfrac{L}{2d}\,\mathrm{sen}^2\,\alpha\cos\alpha \leq \mu \left(1-\dfrac{L}{2d}\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos^2\alpha\right)
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| </math>
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| </center>
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| En el caso <math>\alpha=\pi/4 </math>, llegamos a que para que haya equilibrio <math>d </math> debe verificar
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| <center>
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| <math>
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| d\geq \dfrac{1+\mu}{4\sqrt{2}\mu}\,L
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| </math>
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| </center>
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| === Errores detectados en la corrección ===
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| ==== Fuerza en el punto <math>A </math>====
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| Es importante distinguir entre la componente normal y de rozamiento (tangencial) en los puntos de apoyo. La fuerza normal y de rozamiento en <math>A </math> pueden agruparse en una sola fuerza <math>\vec{\Phi}^A = \vec{N}^A + \vec{f}^A_r </math>, pero después no se puede proyectar esa fuerza usando el ángulo <math>\alpha </math>. Es decir, esto '''no se debe hacer'''
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\Phi}^A = \Phi^A\,\cos\alpha\,\vec{\imath} + \Phi^A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
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| </math>
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| </center>
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| Matemáticamente no es incorrecto, pero físicamente sí, porque la componente normal y de rozamiento tienen comportamientos distintos.
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| ==== Cálculo del momento de <math>\vec{N}^B </math> respecto a <math>A </math>====
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| En la solución hemos calculado este momento de dos formas, usando que la fuerza es perpendicular al vector <math>\overrightarrow{AB} </math> y calculando la expresión de <math>\overrightarrow{AB} </math> y después haciendo su producto vectorial con <math>\vec{N}^B </math>. Es en este segundo caso donde ha habido más errores, al determinar el vector geométrico <math>\overrightarrow{AB} </math>.
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| ==== Fuerza de rozamiento igual a <math>\mu N </math>====
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| Este es un clásico. El módulo de la fuerza de rozamiento '''no es igual''' a <math>\mu|\vec{N}| </math> en régimen estático. Sólo en condiciones de deslizamiento inminente, que aquí no se da.
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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