|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado ==
| |
| [[Imagen:F1_GIC_barra_apoyada_en_escalon_enunciado.png|right]]
| |
| Una barra homogénea, de longitud <math>L</math> y peso <math>P</math>, está apoyada sobre un escalón de altura <math>d</math> formando un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. El contacto en el punto <math>B</math> es liso, mientras que es rugoso en el punto <math>A</math>, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>.
| |
| #Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra.
| |
| #Determina la expresión de las fuerzas que actúan sobre la barra en condiciones de equilibrio estático.
| |
| #Si <math>\alpha=\pi/4</math>, qué condición debe cumplir <math>d</math> para que se mantenga el equilibrio? ¿El equilibrio se rompe por deslizamiento o por vuelco? Razona la respuesta.
| |
|
| |
|
| == Solución ==
| |
|
| |
| === Fuerzas que actúan sobre la barra ===
| |
| [[Imagen:F1_GIC_barra_apoyada_en_escalon_fuerzas.png|right]]
| |
| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la barra en su punto de aplicación. Estas son: el peso, aplicado en <math>G </math>, la fuerza normal de reacción del escalón en el punto <math>B </math>, la fuerza normal en <math>A </math> y la fuerza de rozamiento en <math>A </math>.
| |
|
| |
| Hay que comentar que la dirección de <math>\vec{N}^B </math> viene definida por la perpendicular a la barra. Como se indica en la figura, forma un ángulo <math>\alpha </math> con la vertical.
| |
|
| |
| Señalemos también que <math>\vec{f}^A_r </math> tiene que apuntar hacia la derecha, pues es la única fuerza que puede compensar la componente horizontal de <math>\vec{N}^B </math>.
| |
|
| |
| === Fuerzas en equilibrio ===
| |
| Las condiciones de equilibrio estático del sólido rígido son
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \sum_i \vec{F}_i= \vec{0}\, \qquad \sum_i\vec{M}^O_i = \vec{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| donde <math>\vec{F}_i </math> son todas las fuerzas que actúan sobre la barra y <math>\vec{M}^O_i </math> es el momento de cada una de las fuerzas respecto a un punto arbitrario <math>O </math>.
| |
|
| |
| De la figura vemos que las fuerzas tienen la forma
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}
| |
| \\
| |
| \vec{N}^B = -N^B\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + N^B\cos\alpha\vec{\jmath}
| |
| \\
| |
| \vec{N}^A = N^A\,\vec{\imath}
| |
| \\
| |
| \vec{f}^A_r = f^A_r\,\vec{\imath}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Aplicamos ahora las condiciones de equilibrio. De la condición de suma de fuerzas nula obtenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{ll}
| |
| (X): & f_r^A = N^B\,\mathrm{sen}\,\alpha
| |
| \\
| |
| (Y): & N^A + N^B\cos\alpha = P
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Tenemos tres incógnitas: <math>N^A </math>, <math>N^B </math>, <math>f^A_r </math>. La ecuación que nos falta viene de la condición de momento neto nulo. Escogemos el punto <math>A </math> para calcular el momento. De este modo ni <math>\vec{N}^A </math> ni <math>\vec{f}^A_r </math> contribuyen al momento neto. La contribución del peso es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \overrightarrow{AG}\times\vec{P} = \dfrac{1}{2}\,(L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})\times(-P\,\vec{\jmath})
| |
| =
| |
| -\dfrac{1}{2}\,PL\cos\alpha\,\vec{k}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la fuerza <math>\vec{N}^B </math> tenemos que es perpendicular a <math>\overrightarrow{AB} </math>. Aplicando la definición de producto vectorial tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \overrightarrow{AB}\times\vec{N}^B = \overline{AB}N^B\,\vec{k}
| |
| =
| |
| \dfrac{dN^B}{\mathrm{sen}\,\alpha}\,\vec{k}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Otra forma de calcularlo es usar el vector <math>\overrightarrow{AB} = \dfrac{d}{\tan\alpha}\,\vec{\imath} + d\,\vec{\jmath} </math> y hacer el producto vectorial con <math>\vec{N}^B </math>.
| |
|
| |
| La suma de ambos momentos debe ser nula. Por tanto
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| N^B = \dfrac{L}{2d}\,P\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Usando esto en las dos ecuaciones previas obtenemos la expresión de las fuerzas que actúan sobre la barra
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{N}^A = P\,\left(1-\dfrac{L}{2d}\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos^2\alpha\right)\,\vec{\jmath}
| |
| \\ \\
| |
| \vec{f}^A_r = \dfrac{L}{2d}\,P\,\mathrm{sen}^2\,\alpha\cos\alpha\,\vec{\imath}
| |
| \\ \\
| |
| \vec{N}^B = \dfrac{L}{2d}\,P\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha\,(-\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + \cos\alpha\,\vec{\jmath})
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| === Condiciones de equilibrio ===
| |
| El equilibrio sólo puede romperse por deslizamiento en el punto <math>A </math>. La barra no puede volcar manteniendo el punto <math>A </math> sin moverse, pues la fuerza <math>\vec{N}^B </math> siempre será capaz de compensar el momento que ejerce el peso respecto del punto <math>A </math>.
| |
|
| |
| La condición para que haya equilibrio frente a deslizamiento es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| |\vec{f}^A_r| \leq \mu |\vec{N}^A|
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| que se traduce en
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dfrac{L}{2d}\,\mathrm{sen}^2\,\alpha\cos\alpha \leq \mu \left(1-\dfrac{L}{2d}\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos^2\alpha\right)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| En el caso <math>\alpha=\pi/4 </math>, llegamos a que para que haya equilibrio <math>d </math> debe verificar
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| d\geq \dfrac{1+\mu}{4\sqrt{2}\mu}\,L
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| === Errores detectados en la corrección ===
| |
|
| |
| ==== Fuerza en el punto <math>A </math>====
| |
| Es importante distinguir entre la componente normal y de rozamiento (tangencial) en los puntos de apoyo. La fuerza normal y de rozamiento en <math>A </math> pueden agruparse en una sola fuerza <math>\vec{\Phi}^A = \vec{N}^A + \vec{f}^A_r </math>, pero después no se puede proyectar esa fuerza usando el ángulo <math>\alpha </math>. Es decir, esto '''no se debe hacer'''
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\Phi}^A = \Phi^A\,\cos\alpha\,\vec{\imath} + \Phi^A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Matemáticamente no es incorrecto, pero físicamente sí, porque la componente normal y de rozamiento tienen comportamientos distintos.
| |
|
| |
| ==== Cálculo del momento de <math>\vec{N}^B </math> respecto a <math>A </math>====
| |
| En la solución hemos calculado este momento de dos formas, usando que la fuerza es perpendicular al vector <math>\overrightarrow{AB} </math> y calculando la expresión de <math>\overrightarrow{AB} </math> y después haciendo su producto vectorial con <math>\vec{N}^B </math>. Es en este segundo caso donde ha habido más errores, al determinar el vector geométrico <math>\overrightarrow{AB} </math>.
| |
|
| |
| ==== Fuerza de rozamiento igual a <math>\mu N </math>====
| |
| Este es un clásico. El módulo de la fuerza de rozamiento '''no es igual''' a <math>\mu|\vec{N}| </math> en régimen estático. Sólo en condiciones de deslizamiento inminente, que aquí no se da.
| |
|
| |
| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
| |
| [[Categoría:Problemas de examen]]
| |
| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
| |
