http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Tensor_de_inercia_de_un_hex%C3%A1gono_(Dic._2020)&feed=atom&action=historyTensor de inercia de un hexágono (Dic. 2020) - Historial de revisiones2024-04-10T06:37:17ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Tensor_de_inercia_de_un_hex%C3%A1gono_(Dic._2020)&diff=1071&oldid=prevPedro: Página creada con «= Enunciado = right EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado <math>L</math>. Cada lado del hexágono tiene una masa <math>m</math>. #Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura.. #Calcula el tensor de inercia en el vértice <math>A</math>, expresado en los mismos ejes. #Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje <math>OX</math> y qu…»2023-10-17T14:51:45Z<p>Página creada con «= Enunciado = <a href="/wiki/index.php/Archivo:MRGIC-tensorInerciaHexagono-enunciado.png" title="Archivo:MRGIC-tensorInerciaHexagono-enunciado.png">right</a> EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado <math>L</math>. Cada lado del hexágono tiene una masa <math>m</math>. #Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura.. #Calcula el tensor de inercia en el vértice <math>A</math>, expresado en los mismos ejes. #Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje <math>OX</math> y qu…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>= Enunciado =<br />
[[Archivo:MRGIC-tensorInerciaHexagono-enunciado.png|right]]<br />
EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado <math>L</math>. Cada lado del hexágono tiene una masa <math>m</math>.<br />
#Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..<br />
#Calcula el tensor de inercia en el vértice <math>A</math>, expresado en los mismos ejes.<br />
#Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje <math>OX</math> y que pase por <math>A</math>.<br />
<br />
= Solución =<br />
<br />
== Tensor de inercia en <math>O</math> ==<br />
Al ser un sólido plano el eje perpendicular a el es Eje Principal de Inercia (EPI) en todos los puntos del plano del sólido. En este caso ese eje es el <math>Z</math>. Además, los ejes <math>X</math> e <math>Y</math> son ejes de simetría, por lo que también son EPI. Aunque en este caso, debido a la simetría del hexágono, todos los ejes que pasan por <math>O</math> y están contenidos en el plano <math>XY</math> son EPI.<br />
<br />
Entonces el tensor de inercia en <math>O</math> es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura<br />
<center><br />
<math><br />
\overleftrightarrow{I_O}<br />
=<br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
I_{xx} & 0 & 0 \\<br />
0 & I_{yy} & 0 \\<br />
0 & 0 & I_{zz}<br />
\end{array}<br />
\right].<br />
</math><br />
</center><br />
Por la simetría en el plano <math>XY</math>, se tiene <math>I_{xx}=I_{yy}</math>. Y usando el Teorema de los Ejes Perpendiculares tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
I_{zz} = I_{xx} + I_{yy} = 2I_{xx} \to<br />
I_{xx} = I_{yy} = I_{zz}/2.<br />
</math><br />
</center><br />
Con lo cual el tensor queda<br />
<center><br />
<math><br />
\overleftrightarrow{I_O}<br />
=<br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
I_{zz}/2 & 0 & 0 \\<br />
0 & I_{zz}/2 & 0 \\<br />
0 & 0 & I_{zz}<br />
\end{array}<br />
\right].<br />
</math><br />
</center><br />
Para calcular <math>I_{zz}(O)</math> dividimos la integral en seis partes, una por cada barra. Tenemos así<br />
<center><br />
<math><br />
I_{zz}(O) = 6I_b(O),<br />
</math><br />
</center><br />
[[Archivo:MRGIC-tensorInerciaHexagono-triangulo.png|right]]<br />
Donde <math>I_b(O)</math> es el momento de inercia de cada barra respecto a un eje paralelo a <math>Z</math> que pasa por <math>O</math>. Por la simetría del hexágono esta magnitud es la misma para las seis barras. El hexágono se puede dividir en seis triángulos equiláteros de lado <math>L</math>, como se indica en la figura. Utilizando el Teorema de los Ejes Paralelos tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
I_b(O) = I_{zz}(C) + mh^2<br />
</math><br />
</center><br />
El momento <math>I_{zz}(C)</math> es el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro, esto es<br />
<center><br />
<math><br />
I_{zz}(C) = mL^2/12.<br />
</math><br />
</center><br />
De la figura tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
h = \sqrt{L^2 - L^2/4} = \sqrt{3}L/2. <br />
</math><br />
</center><br />
Por tanto<br />
<center><br />
<math><br />
I_b(O) = \dfrac{1}{12}mL^2 + \dfrac{3}{4}mL^2 = \dfrac{5}{6}mL^2.<br />
</math><br />
</center><br />
Y para todo el hexágono<br />
<center><br />
<math><br />
I_{zz}(O) = 6I_b(O) = 5mL^2.<br />
</math><br />
</center><br />
Y el tensor que se pide es<br />
<center><br />
<math><br />
\overleftrightarrow{I_O}<br />
=<br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
5mL^2/2 & 0 & 0 \\<br />
0 & 5mL^2/2 & 0 \\<br />
0 & 0 & 5mL^2<br />
\end{array}<br />
\right].<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
== Tensor de inercia en <math>A</math> ==<br />
Utilizamos el Teorema de Steiner para trasladar el tensor de inercia desde <math>O</math> hasta <math>A</math>:<br />
<center><br />
<math><br />
\overleftrightarrow{I_A}<br />
=<br />
\overleftrightarrow{I_O}<br />
+<br />
m\left(|\overrightarrow{OA}|^2 \overleftrightarrow{U} - \overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OA}\right).<br />
\begin{array}{c}\end{array}<br />
</math><br />
</center><br />
Tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{OA} = <br />
L\,(\cos(\pi/3)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}\,(\pi/3)\,\vec{\jmath})<br />
=<br />
L\,\left(\dfrac{1}{2}\,\vec{\imath}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\jmath}\right)<br />
</math><br />
</center><br />
Operando<br />
<center><br />
<math><br />
|\overrightarrow{OA}|^2\overleftrightarrow{U}<br />
=<br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
L^2 & 0 & 0 \\<br />
0 & L^2 & 0 \\<br />
0 & 0 & L^2<br />
\end{array}<br />
\right],<br />
\qquad<br />
\overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OA}<br />
=<br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
L^2/4 & \sqrt{3}L^2/4 & 0 \\<br />
\sqrt{3}L^2/4 & 3L^2/4 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}<br />
\right].<br />
</math><br />
</center><br />
El término que se añade al tensor en <math>O</math> es<br />
<center><br />
<math><br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
3mL^2/4 & -m\sqrt{3}L^2/4 & 0 \\<br />
-m\sqrt{3}L^2/4 & mL^2/4 & 0 \\<br />
0 & 0 & mL^2<br />
\end{array}<br />
\right].<br />
</math><br />
</center><br />
Y el resultado pedido es<br />
<center><br />
<math><br />
\overleftrightarrow{I_A}<br />
=<br />
\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
13mL^2/4 & -m\sqrt{3}L^2/4 & 0 \\<br />
-m\sqrt{3}L^2/4 & 11mL^2/4 & 0 \\<br />
0 & 0 & 6mL^2<br />
\end{array}<br />
\right].<br />
</math><br />
</center><br />
Podemos observar que el Teorema de los Ejes perpendiculares se sigue cumpliendo en este tensor, como debe ser pues es un sólido plano.<br />
También vemos que el tensor en <math>A</math> no es diagonal. Esto significa que los ejes <math>X</math> e <math>Y</math> no son EPI en <math>A</math>.<br />
<br />
== Momento de inercia en <math>A</math> ==<br />
Una vez calculado el tensor de inercia en <math>A</math> podemos calcular el momento de inercia respecto a un eje que pase por <math>A</math> si tenemos un vector unitario en la dirección de ese eje<br />
<center><br />
<math><br />
I(A) = \vec{n}\cdot\overleftrightarrow{I_A}\cdot\vec{n}.<br />
\begin{array}{c}\end{array}<br />
</math><br />
</center><br />
En este caso el vector adecuado es<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{n} = \vec{\imath} = [1,0,0].<br />
</math><br />
</center><br />
Operando tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
I_{xx}(A) = <br />
[1,0,0]\left[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
13mL^2/4 & -m\sqrt{3}L^2/4 & 0 \\<br />
-m\sqrt{3}L^2/4 & 11mL^2/4 & 0 \\<br />
0 & 0 & 6mL^2<br />
\end{array}<br />
\right]<br />
\left[<br />
\begin{array}{c}<br />
1\\0\\0<br />
\end{array}<br />
\right]<br />
= 13mL^2/4.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]<br />
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]<br />
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido]]<br />
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]<br />
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