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Sistema de tres esferas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un sistema de conductores está formado por tres esferas metálicas idénticas de radio b, situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a ((a>2b). No hay más conductores ni cargas en el sistema.

Archivo:tres-esferas-triangulo.png

Se encuentra experimentalmente que cuando la esfera “1” se encuentra a 10kV y la “2” y la “3” a tierra, la carga de la propia esfera “1” es de +8nC, mientras que la de la “2” es de −3nC.

Nota: Para resolver este problema no se necesita usar la capacidad de una esfera

  1. Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
  2. Se puede construir un circuito equivalente a este sistema de conductores. Está formado por seis condensadores: tres iguales que conectan cada par de esferas y otros tres también iguales, cada uno conectando una esfera al infinito. Dibuje el circuito y calcule las capacidades de estos condensadores.

Suponga que, sin tocar las esferas 1 y 3, se pasa el interruptor de la esfera 2 a la posición B, de manera que su voltaje pasa a ser de 5kV. Una vez que se llega al equilibrio:

  1. ¿Cuál es la nueva carga de cada esfera?
  2. ¿Cuál es la nueva energía almacenada?
  3. ¿Qué trabajo realiza en el proceso el generador conectado a la esfera 1 y el conectado a la esfera 2?

2 Energía inicial

Para hallar la energía de un sistema de conductores aplicamos que

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3)

En este caso, no nos dan la carga del conductor “3” (aunque por la simetría del sistema, debe ser igual a la de la esfera “2”), pero da igual porque su potencial es 0. Por tanto, queda

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(8\,\mathrm{nC}\cdot 10\,\mathrm{kV}+0+0)=40\,\mu\mathrm{J}

3 Circuito equivalente

De acuerdo con lo visto en teoría, y tal como se dice en el enunciado, cada conductor equivale a un nodo. Hay un condensador entre cada dos nodos (que tendrán los tres la misma capacidad Ca, por la simetría del sistema) y otro entre cada nodo y tierra, representando las líneas de campo que van al infinito (y estos tres tendrán la misma capacidad Cb). A eso se añaden las fuentes oportunas. Quedaría como sigue:

Archivo:circuito-tres-esferas-triangulo.png

Para hallar las capacidades de estos condensadores, aplicamos que nos dan cargas y potenciales. La carga de un conductor equivale a la de todas las placas conectadas al nodo correspondiente. Para el conductor 1

Q_1 = C_a(V_1-V_2)+C_a(V_1-V_3)+C_b (V_1-0)\,

Sustituimos y, dado que V2 = V3 = 0, queda

8\,\mathrm{nC}=(2C_a+C_b)(10\,\mathrm{kV})\qquad\Rightarrow\qquad  2C_a+C_b=0.8\,\mathrm{pF}

Para el conductor 2

Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_a(V_2-V_3)+C_b (V_2-0)\,

Sustituimos

-3\,\mathrm{nC}=C_a(-10\,\mathrm{kV})

De aquí obtenemos

C_a=\frac{3\,\mathrm{nC}}{10\,\mathrm{kV}}=0.3\,\mathrm{pF}

y, sustituyendo esto en la ecuación para "1", la otra capacidad

0.8\,\mathrm{pF}=2(0.3 \,\mathrm{pF})+C_b\qquad\Rightarrow\qquad C_b = 0.2\,\mathrm{pF}

4 Nuevas cargas

Tras la conexión, el conductor 2, pasa a estar a 5kV.

La nueva carga del conductor 1 es

Q_1=(0.3\,\mathrm{pF})(10\,\mathrm{kV}-5\mathrm{kV})+(0.3\,\mathrm{pF})(10\,\mathrm{kV}-0\mathrm{kV})+(0.2\,\mathrm{pF})(10\,\mathrm{kV}-0\mathrm{kV})= (1.5+3+2)\,\mathrm{nC}=6.5\,\mathrm{nC}

La del 2

Q_2=(0.3\,\mathrm{pF})(5\,\mathrm{kV}-10\mathrm{kV})+(0.3\,\mathrm{pF})(5\,\mathrm{kV}-0\mathrm{kV})+(0.2\,\mathrm{pF})(5\,\mathrm{kV}-0\mathrm{kV})= (-1.5+1.5+1)\,\mathrm{nC}=1\,\mathrm{nC}

y la del 3

Q_3=(0.3\,\mathrm{pF})(0\,\mathrm{kV}-10\mathrm{kV})+(0.3\,\mathrm{pF})(0\,\mathrm{kV}-5\mathrm{kV})+(0.2\,\mathrm{pF})(0\,\mathrm{kV}-0\mathrm{kV})= (-3-1.5+0)\,\mathrm{nC}=-4.5\,\mathrm{nC}

5 Nueva energía

Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, hallamos la nueva energía,

U'_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(6.5\cdot 10+1\cdot 5+(-4.5)\cdot 0)\,\mu\mathrm{J}=35\,\mu\mathrm{J}

6 Trabajo de los generadores

El trabajo de cada generador es igual a

W_g=(\Delta Q)V_0\,

lo que da, para el generador conectado a la esfera 1

W_1=(6.5-8)\cdot 10\,\mu\mathrm{J}= -15\,\mu\mathrm{J}

y para el conectado a la esfera 2

W_2= (1-(-3))\cdot 5\,\mu\mathrm{J}=20\,\mu\mathrm{J}

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