Rodadura por una pendiente

Enunciado

En lo alto de un plano inclinado de altura $h$ y con una cierta pendiente se encuentran los siguientes objetos

• Una superficie cilíndrica hueca
• Un cilindro macizo
• Una superficie esférica hueca
• Una esfera maciza

Si se sueltan a la vez desde el extremo superior del plano, ¿dependerá el orden de llegada de la masa y el radio de cada uno? ¿con qué rapidez del CM llega cada uno al punto más bajo del plano? ¿en qué orden llegarán y cuanto tarda cada uno en llegar? Si además se suelta un bloque que desliza sin rozamiento por el plano, ¿llegará antes o después que los objetos rodantes? ¿Cuánto?

Solución

Este problema se resuelve de forma sencilla aplicando la ley de conservación de la energía mecánica. Cuando se encuentran en reposo en el punto más alto del plano, cada uno de los cuerpos posee una energía mecánica igual a su energía potencial, medida desde el punto más bajo del plano, de

$E=U_{i}=mgz_{C}=mg(H+R)\,$

Al descender por el plano, parte de esta energía potencial se transforma en energía cinética. Por tratarse de cuatro sólidos con simetría de revolución, la energía mecánica final puede escribirse

$E={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{C}|^{2}+{\frac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}|^{2}+mgR$

Puesto que la energía mecánica se conserva, estas dos cantidades deben ser iguales y por tanto

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{C}|^{2}+{\frac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}|^{2}=mgH$

Esta ecuación se interpreta como que la energía potencial se va en parte en energía cinética de traslación y en energía cinética de rotación. Puesto que lo que determina cuál llega en menos tiempo al punto más bajo es la velocidad del CM, se deduce que el ganador de la competición será el que tenga menos energía cinética de rotación. Esto dependerá esencialmente de su momento de inercia.

Para los cuatro cuerpos en cuestión, el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el CM es de la forma

$I=\gamma mR^{2}\,$

donde $\gamma$ vale

Cuerpo	Cilindro hueco	Cilindro macizo	Esfera hueca	Esfera maciza
$\gamma \,$	$1\,$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {2}{5}}$

La velocidad angular con la que rueda cada uno nos la da el que el CIR se encuentra en el punto de contacto del cuerpo con el suelo y por tanto el CM de cada uno se encuentra describiendo un movimiento de rotación en torno a este punto, situado a una distancia R. Por tanto, la velocidad del CM cumple, en cada caso

$|{\vec {v}}_{C}|=|{\vec {\omega }}|R$

lo que, llevado a la ley de conservación de la energía mecánica, nos da

${\frac {1}{2}}\left(1+\gamma \right)|{\vec {v}}_{C}|^{2}=gH$

y esto nos da la velocidad de llegada

$|{\vec {v}}_{C}|={\sqrt {\frac {2gH}{1+\gamma }}}$

Vemos que el resultado es independiente de la masa y del radio del cuerpo (y de la pendiente del plano). Lo único que necesitamos conocer es la altura del plano y la forma del objeto. Cuanto mayor sea el factor $\gamma$ más lento llega el cuerpo. dado que se cumple

${\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}<1$

El orden de llegada será

1. Esfera maciza
2. Cilindro macizo
3. Esfera hueca
4. Cilindro hueco

Antes que todos ellos llegaría un bloque que deslizara sin fricción por el plano, ya que para este cuerpo toda la energía potencial se convierte en energía cinética de traslación. Matemáticamente, esto equivale a $\gamma =0$

En cuanto al tiempo que tarda cada uno llegar, el CM de cada uno de los cuerpos sigue un movimiento uniformemente acelerado con velocidad inicial nula y final la que acabamos de calcular. En su movimiento recorre una distancia

$L={\frac {H}{\mathrm {sen} (\theta )}}$

Las ecuaciones para el movimiento uniformemente acelerado nos dan, para el intervalo completo

$L={\frac {1}{2}}aT^{2}\qquad \qquad |{\vec {v}}_{C}|=aT$

Eliminamos la aceleración (que no conocemos aun, ya que será diferente para cada uno de los cuerpos) dividiendo y obtenemos

$T={\frac {2L}{|{\vec {v}}_{C}|}}={\sqrt {1+\gamma }}{\frac {2L}{\sqrt {2gH}}}={\sqrt {1+\gamma }}{\sqrt {\frac {2H}{g}}}{\frac {1}{\mathrm {sen} (\theta )}}$

Si llamamos

$v_{D}={\sqrt {2gH}}\qquad \qquad T_{D}={\sqrt {\frac {2H}{g}}}{\frac {1}{\mathrm {sen} (\theta )}}$

la velocidad que tendría y el tiempo que emplearía un bloque deslizante, se cumple, para cada cuerpo

Cuerpo	$\gamma$	$|{\vec {v}}_{C}|/v_{D}$	$T/T_{D}\,$	$|T-T_{D}|/T_{D}\,$ (%)
Bloque	0	1	1	0
Esfera maciza	2/5	0.845	1.183	18.3
Cilindro macizo	1/2	0.816	1.225	22.5
Esfera hueca	2/3	0.775	1.291	29.1
Cilindro hueco	1	0.707	1.414	41.4