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Rodadura con rozamiento dinámico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa m y radio R. Inicialmente el centro del disco avanza con velocidad v_0 \vec{\imath} y el disco gira con velocidad angular \omega_0 \vec{k}, de manera que desliza además de rodar. El coeficiente de rozamiento dinámico con el suelo vale μ.

  1. Determine la aceleración lineal del centro del disco y la aceleración angular del disco.
  2. Halle la velocidad lineal del centro del disco, la velocidad angular del disco y la velocidad lineal del disco en el punto de contacto con el suelo como funciones del tiempo
  3. ¿Cuánto tarda el disco en dejar de deslizar y empezar a rodar sin deslizar?
  4. ¿Cómo es el movimiento una vez que empieza a rodar sin deslizar? ¿Cuál debe ser la velocidad angular inicial mínima para que el disco retorne al lanzador?
  5. Estudie como varían en el tiempo la energía cinética de traslación, de rotación y la total.

2 Introducción

Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos.

Sobre el disco actúan tres fuerzas

  • Su peso, en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
  • La reacción normal del plano
  • La fuerza de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal.

De estas, puesto que el movimiento del CM es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, por lo que la única fuerza relevante es la de rozamiento dinámico.

Esta fuerza de rozamiento es la que tiene un doble efecto:

  • Por un lado es una fuerza en el sentido opuesto al movimiento, por lo que debe acelerar al CM del disco hacia atrás
  • Por otro, su momento respecto al CM produce un par que hace girar al disco hacia adelante, acelerando al CM hacia adelante.
Archivo:disco-rodante-01.png        Archivo:disco-rodante-02.png

De la composición de estos dos efectos contrapuestos obtenemos el movimiento del disco. El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámíco, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese mo

3 Aceleraciones

3.1 Del centro de masas

La aceleración del centro de masas nos la da el teorema de la cantidad de movimiento

m\vec{a}_G = \sum_P \vec{F}_P = m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r

Descomponiendo en las componentes X e Y queda

m\vec{a}_G = ma_G\vec{\imath}\qquad\qquad m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}

Igualando componente a componente nos quedan las dos ecuaciones escalares

ma_G = -F_r\qquad\qquad 0 = -mg + F_n

Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico

a_G = -\frac{F_r}{m}=-\frac{\mu F_n}{m}=-\frac{\mu mg}{m}=-\mu g

3.2 Angular

Para hallar la aceleración angular aplicamos el teorema del momento cinético para el centro de masas

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_G

En el caso del movimiento plano de un disco, su momento cinético es proporcional a su velocidad angular, que apunta en la dirección normal al plano

\vec{L}_G=I\vec{\omega}=I\omega\vec{k}

siendo I el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular por su centro.

I = \gamma mR^2\qquad\qquad \gamma=\frac{1}{2}

Por tanto nos queda, para el primer miembro

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = \gamma m R^2 \alpha\vec{k}

siendo \alpha = \dot{\omega} la aceleración angular del disco.

Esta cantidad debe ser igual al momento de las fuerzas que actúan sobre el disco

\vec{M}_G = \sum_P \overrightarrow{GP}\times\vec{F}_P

Debemos hallar el momento de las tres fuerzas y no solo de la de rozamiento, porque aunque la suma del peso y la fuerza normal sea nula, pueden formar un par de fuerzas no nulo.

  • El momento del peso es nulo, ya que se aplica en el propio centro de masas
\vec{M}_1 = \overrightarrow{GG}\times (m\vec{g}) = \vec{0}
  • El de la fuerza normal también es cero, ya que aunque se aplica en el punto de contacto A, su dirección es la de una recta que pasa por el CM, con lo que el brazo del par es nulo
\vec{M}_2 = \overrightarrow{GA}\times \vec{F}_n = (-R\vec{\jmath})\times(F_n\vec{\jmath})=\vec{0}
  • El de la fuerza de rozamiento es no nulo, ya que se aplica sobre una recta que no pasa por el CM, sino a una distancia R de este.
\vec{M}_3 = \overrightarrow{GA}\times \vec{F}_r = (-R\vec{\jmath})\times(-F_r\vec{\imath})=-F_rR\vec{k}=-\mu m g R\vec{k}

Nos queda entonces la ecuación para la aceleración angular

\gamma m R^2\alpha = -\mu  g R\,

que nos da la aceleración angular constante


\alpha=-\frac{\mu g}{\gamma R}

4 Velocidades

La aceleración del CM es constante, por lo que resulta una velocidad que varía linealmente con el tiempo

\vec{v}_G=v_G \vec{\imath}\qquad\qquad v_G=v_0+a_G t = v_0-\mu g t

La aceleración angular también es constante, por lo que la velocidad angular también varía linealmente

\vec{\omega}=\omega \vec{k}\qquad\qquad \omega=\omega_0+\alpha t = \omega_0-\frac{\mu g}{\gamma R} t

Las velocidades varían a diferente ritmo. Esto es lo que hace que en algún momento pueda empezar a rodar sin deslizar.

5 Tiempo hasta fin de deslizamiento

Una vez que tenemos la velocidad de un punto y la velocidad angular podemos hallar la velocidad de cualquier otro. La del punto de contacto con el suelo vale

\vec{v}_A = \vec{v}_G+\vec{\omega}\times\overrightarrow{GA}

Sustituyendo

\vec{v}_A = (v_0-\mu g t)\vec{\imath}+\left(\omega_0 -\frac{\mu g}{\gamma R}t\vec{k}\right)\times(-R\vec{\jmath}) = \left(v_0+R\omega_0-\frac{1+\gamma}{\gamma}\mu g t\right)\vec{\imath}

Esta velocidad disminuye linealmente con el tiempo, pero de manera más rápida que la del centro del disco. Se anula cuando

0 = v_0+R\omega_0-\frac{1+\gamma}{\gamma}\mu g t \qquad\Rightarrow\qquad t_1 = \frac{\gamma (v_0+\omega_0R)}{(1+\gamma)\mu g}

Este es el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizamiento (pero no en pararse). No depende ni de la masa ni del radio del disco.

6 Rodadura

Una vez que empieza a rodar sin deslizar ya las velocidades permanecen constantes, ya que en ese caso no hay disipación de energía.

La velocidad del CM en el momento en que empieza a rodar sin deslizar es

v_G=v_0-\mu g t_1 = \frac{v_0 - \gamma R\omega_0}{1 + \gamma}

Esta velocidad puede ser tanto positiva, como negativa o nula, dependiendo de las condiciones iniciales.

  • Si la velocidad angular inicial es menor que v0 / γR la velocidad final del CM es positiva. El disco continúa su camino hacia adelante a una velocidad menor que la inicial.
  • Si la velocidad angular inicial es igual a v0 / γR la velocidad final es nula. Eso quiere decir que al acabar de deslizar se queda parado en el sitio.
  • Si la velocidad angular inicial es mayor que v0 / γR la velocidad final del CM es negativa. Esto quiere decir que el disco retorna al lanzador.

Así pues, si queremos hacer el truco de que una moneda se lance hacia adelante y ella misma retorne al lanzador hay que comunicarle un giro positivo de al menos este valor.

7 Energía cinética

7.1 De traslación

La energía cinética de traslación es la asociada al movimiento del centro de masas

K_T=\frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2

Sustituyendo la expresión que ya conocemos nos queda

K_T = \frac{1}{2}m(v_0-\mu g t)^2

Esta energía cinética decae parabólicamente con el tiempo. Su valor inicial es

K_{Ti} = \frac{1}{2}mv_0^2

y el que tiene cuando el disco empieza a rodar sin deslizar

K_{Tf} =\frac{m}{2}\,\frac{(v0 - \gamma R \omega_0)^2}{(1 + \gamma)^2}

La energía cinética de traslación no llega a anularse en general, puesto que el disco sigue avanzando (o retrocediendo) cuando empieza a rodar sin deslizar.

7.2 Energía cinética de rotación

La energía cinética de rotación es la asociada al movimiento alrededor del centro de masas. Para una rotación en torno a un eje que mantiene constante su dirección (como es el caso, aunque el CM se está moviendo, el eje de rotación es siempre perpendicular al plano del movimiento)

K_R=\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2

Sustituyendo el momento de inercia y la velocidad angular

K_R = \frac{1}{2}\left(\gamma mR^2\right)\left(\omega_0-\frac{\mu g}{\gamma R} t\right)^2=

Inicialmente vale

K_{Ri} = \frac{1}{2}\gamma m R^2 \omega_0^2

y cuando el disco empieza a rodar sin deslizar

K_{Rf} = \frac{\gamma m}{2}\,\frac{(v0 - \gamma R \omega_0)^2}{(1 + \gamma)^2}=\gamma K_{Tf}

En el caso particular ω0 = 0 la energía cinética de rotación aumenta como consecuencia del rozamiento. Vemos entonces que la fuerza de rozamiento no se limita a frenar el avance del disco. También transforma energía cinética de traslación en energía cinética de rotación.

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