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Resorte sometido a la acción de la gravedad

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Posición de equilibrio)
(Oscilaciones)
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==Oscilaciones==
==Oscilaciones==
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Para estudiar la dinámica del sistema, elegimos un sistema de coordenadas centrado en la posición de equilibrio, con el eje Y orientado hacia arriba. De esta forma, cuando la masa se mueve verticalmente una cantidad <math>y</math>, la longitud del muelle es
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<center><math>l = l_\mathrm{eq}-y = l_0+\frac{mg}{k}-y</math></center>
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Suponiendo que la masa oscila solo verticalmente, la aceleración es
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y la segunda ley de Newton aplicada a este caso nos da
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<center><math>m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\mathbf{j} = k(l-l_0)\mathbf{j}-mg\mathbf{j}=
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k\left(l_0+\frac{mg}{k}-y-l_0\right)\mathbf{j}-mg\mathbf{j}=-ky\mathbf{j}</math></center>
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esto es, la masa obedece la ley de un oscilador armónico simple
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con la misma frecuencia que si no estuviera sometida a la acción del peso. Por tanto, la única influencia del peso es variar la posición de equilibrio, pero no el tipo de movimiento, que seguirá siendo un movimiento armónico simple de la misma frecuencia (pero en torno a la posición de equilibrio, no a la elongación natural del muelle).
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==Energía==
==Energía==
[[Categoría:Movimiento oscilatorio]]
[[Categoría:Movimiento oscilatorio]]

Revisión de 09:37 6 sep 2009

Contenido

1 Introducción

Supongamos un muelle de longitud natural l0 y constante de recuperación k que cuelga verticalmente, anclado en su parte superior. Suspendida de este muelle se encuentra una masa m.

Vamos a considerar la estática de este sistema, la dinámica de la masa, así como el balance energético.

2 Posición de equilibrio

La masa m se encuentra sometida a dos fuerzas, ambas verticales:

  • El peso, que tira hacia abajo,
\mathbf{P}=-mg\mathbf{j}\,
  • La fuerza recuperadora del muelle que irá hacia arriba (si la longitud l es mayor que la de equilibrio, l > l0) o hacia abajo (si l < l0). Teniendo en cuenta que el sentido en que aumenta l es hacia abajo, la fuerza elástica queda
\mathbf{F}_e = -k(l-l_0)(-\mathbf{j})=k(l-l_0)\mathbf{j}\,

La posición de equilibrio la da la condición de que la suma de fuerzas es igual a \mathbf{0}

\mathbf{0}=\mathbf{P}+\mathbf{F}_e=-mg\mathbf{j}+k(l-l_0)\mathbf{j}=(kl-kl_0-mg)\mathbf{j}   \Rightarrow   l_\mathrm{eq} = l_0+\frac{mg}{k}

El efecto del peso es alargar el muelle una cantidad proporcional a la masa, lo que constituye el principio de muchas balanzas.

3 Oscilaciones

Para estudiar la dinámica del sistema, elegimos un sistema de coordenadas centrado en la posición de equilibrio, con el eje Y orientado hacia arriba. De esta forma, cuando la masa se mueve verticalmente una cantidad y, la longitud del muelle es

l = l_\mathrm{eq}-y = l_0+\frac{mg}{k}-y

Suponiendo que la masa oscila solo verticalmente, la aceleración es

\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\mathbf{j}

y la segunda ley de Newton aplicada a este caso nos da

m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\mathbf{j} = k(l-l_0)\mathbf{j}-mg\mathbf{j}=
k\left(l_0+\frac{mg}{k}-y-l_0\right)\mathbf{j}-mg\mathbf{j}=-ky\mathbf{j}

esto es, la masa obedece la ley de un oscilador armónico simple

m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=-ky

con la misma frecuencia que si no estuviera sometida a la acción del peso. Por tanto, la única influencia del peso es variar la posición de equilibrio, pero no el tipo de movimiento, que seguirá siendo un movimiento armónico simple de la misma frecuencia (pero en torno a la posición de equilibrio, no a la elongación natural del muelle).

4 Energía

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