Barra deslizando sobre una circunferencia (G.I.A.)

Enunciado

En un plano $OXY$, se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos:

1. una circunferencia fija, de radio $R$ y centrada en el punto $C$ de coordenadas $(x_{C}=R,\,y_{C}=0)$;
2. un segmento rectilíneo móvil $A'A$, de longitud superior a $4R$, el cual gira con velocidad angular constante $\omega$ (en sentido antihorario) alrededor de un eje fijo que pasa por su punto medio $O$ y es normal al plano $OXY$ (eje $OZ$).

Sabiendo que el ángulo $\theta$ ( que forman $OA$ y $OX$) es nulo en el instante inicial $(t=0)$; y considerando como móvil problema el punto $P$ en el que se cortan el segmento $A'A$ y la circunferencia , se pide:

1. item Determinar las ecuaciones horarias, $\mathbf {r} (t)={\overrightarrow {OP}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}$, del punto $P$, así como sus vectores velocidad, $\mathbf {v} (t)$, y aceleración, $\mathbf {a} (t)$.
2. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de dicho punto $P$.

Solución

Ecuaciones horarias

Determinamos la posición del punto $P$ a través de los vectores ${\overrightarrow {OC}}$ y ${\overrightarrow {CP}}$,

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CP}}$

El vector ${\overrightarrow {OC}}$ es

${\overrightarrow {OC}}=R\,{\vec {\imath }}=[\,R\,,\,0\,,\,0\,];$

En el dibujo vemos que el ángulo que forma el vector ${\overrightarrow {CP}}$ con el eje $OX$ es $2\theta$. Como su módulo es el radio $R$ tenemos

${\overrightarrow {CP}}=R\,\cos(2\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\,\mathrm {sen} \,(2\theta )\,{\vec {\jmath }}=[\,R\,\cos(2\theta )\,,\,R\,\,\mathrm {sen} \,(2\theta )\,,0\,]$

Así pues la posición del punto $P$ viene dada por el vector

${\overrightarrow {OP}}=[\,R\,(1+\cos(2\theta ))\,,\,R\,\,\mathrm {sen} \,(2\theta )\,,\,0\,]$

Teniendo en cuenta que $\theta (t)=\omega t$ tenemos ${\dot {\theta }}=\omega$ y por tanto

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{P}={\dot {\overrightarrow {OP}}}=[\,-2R\omega \,\mathrm {sen} \,(2\theta )\,,\,2R\omega \cos(2\theta )\,,\,0\,]\\\\{\vec {a}}_{P}={\dot {\vec {v}}}_{P}=-4R\omega ^{2}\,[\,\cos(2\theta )\,,\,\,\mathrm {sen} \,(2\theta )\,,\,0\,]\end{array}}$

Aceleración tangencial y normal

El módulo de la aceleración es

$|\,{\vec {a}}_{P}\,|=4R\omega ^{2}$

La aceleración tangencial es la proyección de ${\vec {a}}$ sobre la dirección tangente a la trayectoria, es decir

$a_{T}={\dfrac {{{\vec {a}}_{P}}\cdot {{\vec {v}}_{P}}}{|\,{\vec {v}}_{P}\,|}}=0$

La aceleración tangencial es cero. Esto puede deducirse también del hecho de que el módulo de la velocidad, $|\,{\vec {v}}_{P}\,|=2R\omega$ es constante.

La aceleración normal es

$a_{N}={\sqrt {|\,{\vec {a}}_{P}\,|^{2}-a_{T}^{2}}}=|\,{\vec {a}}_{P}\,|=4R\omega ^{2}$