Condiciones sobre producto escalar y vectorial (G.I.A.)

Enunciado

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

1. ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$
2. ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}$

siendo ${\vec {A}}\neq 0$, entonces ${\vec {B}}={\vec {C}}$; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces ${\vec {B}}\neq {\vec {C}}$.

Solución

De la primera condición tenemos que ${\vec {B}}={\vec {C}}+{\vec {D}}$ con ${\vec {D}}\cdot {\vec {A}}=0$. Si ahora multiplicamos vectorialmente por ${\vec {A}}$ tenemos

${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {A}}\times ({\vec {C}}+{\vec {D}})={\vec {A}}\times {\vec {C}}+{\vec {A}}\times {\vec {D}}\to {\vec {A}}\times {\vec {D}}=0.$

Es decir, ${\vec {D}}$ es a la vez perpendicular y paralelo a ${\vec {A}}$. Esto sólo puede ocurrir si ${\vec {D}}=0$.

Si la segunda condición no se cumple, entonces ${\vec {A}}\times {\vec {D}}\neq 0$, por lo que ${\vec {D}}$ es distinto de cero, con lo cual ${\vec {B}}\neq {\vec {C}}$.