Movimiento circular en 3D

Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

${\vec {r}}(t)=4A\cos(\Omega t){\vec {\imath }}+5A\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}+3A\cos(\Omega t){\vec {k}}$

con A y Ω constantes.

1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
2. ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
3. Justifique que este movimiento es circular y uniforme
4. Determine la posición del centro del movimiento circular
5. Calcule la velocidad angular de este movimiento circular

Trayectoria

Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.

Identificación geométrica

Si separamos las tres componentes del movimiento

${\vec {r}}:\left\{{\begin{array}{rcl}x&=&4A\cos(\Omega t)\\y&=&5A\,\mathrm {sen} (\Omega t)\\z&=&3A\cos(\Omega t)\end{array}}\right.$

De aquí es evidente que

$z={\frac {3}{4}}x\qquad \Rightarrow \qquad 3x-4z=0$

Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como

${\vec {n}}\cdot {\vec {r}}=0$

ya que el vector de posición es

${\vec {r}}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}+z{\vec {k}}$

Si escribimos

${\vec {n}}=a{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }}+c{\vec {k}}$

El producto escalar es

${\vec {n}}\cdot {\vec {r}}=ax+by+cz=0$

Igualando coeficiente a coeficiente

$a=3,\qquad b=0,\qquad c=-4$

así que un vector normal al plano es

${\vec {n}}=3{\vec {\imath }}-4{\vec {k}}$

que es un vector constante. Si queremos un unitario perpendicular al plano

$|{\vec {n}}|={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$

y queda

${\vec {B}}={\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}={\frac {3}{5}}{\vec {\imath }}-{\frac {4}{5}}{\vec {k}}$

El vector ${\vec {B}}$ es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.

Además tenemos que se cumple

$x^{2}+z^{2}=25A^{2}\cos ^{2}(\Omega t)\qquad \qquad y^{2}=25A^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\Omega t)$

y sumando estas dos

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=25A^{2}\,$

que es la ecuación de una esfera de radio $R=5A$.

la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.

Procedimiento cinemático

El método anterior es muy simple para determinar que el movimiento es plano, pero no siempre se encuentra a la primera qué combinación lineal de las variables nos da la ecuación del plano, si este existe.

Por ello, existen procedimiento sistemáticos para determinar esta situación.

Uno es el siguiente: hay que hallar la velocidad, la aceleración y la derivada de ésta respecto al tiempo. El movimiento es plano si y solo si se cumple la condición

$({\vec {v}}\times {\vec {a}})\cdot {\dot {\vec {a}}}=0$

En nuestro caso tenemos

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {v}}(t)&=&-4A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}&+&5A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\jmath }}&-&3A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {k}}\\{\vec {a}}(t)&=&-4A\Omega ^{2}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\imath }}&-&5A\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}&-&3A\Omega ^{2}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {k}}\\{\dot {\vec {a}}}(t)&=&+4A\Omega ^{3}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}&-&5A\Omega ^{3}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\jmath }}&+&3A\Omega ^{3}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {k}}\end{array}}$

El producto vectorial de la velocidad y la aceleración lo da el el determinante

${\vec {v}}\times {\vec {a}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-4A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)&5A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t)&-3A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)\\-4A\Omega ^{2}\,\mathrm {cos} (\Omega t)&-5A\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\Omega t)&-3A\Omega ^{2}\,\mathrm {cos} (\Omega t)\end{matrix}}\right|=-15A^{2}\Omega ^{3}{\vec {\imath }}+20A^{2}\Omega ^{3}{\vec {k}}$

Siendo el producto mixto de los tres vectores

$({\vec {v}}\times {\vec {a}})\cdot {\dot {\vec {a}}}=-15A^{2}\Omega ^{3}\left(4A\Omega ^{3}\,\mathrm {sen} (\Omega t)\right)+20A^{2}\Omega ^{3}\left(3A\Omega ^{3}\,\mathrm {sen} (\Omega t)\right)=0$

Con eso ya tenemos que la trayectoria es plana. Para ver que además es circular vamos a calcular el radio de curvatura, según la fórmula

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{3}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}$

La rapidez del movimiento vale

$|{\vec {v}}|={\sqrt {16A^{2}\Omega ^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\Omega t)+25A^{2}\Omega ^{2}\mathrm {cos} ^{2}(\Omega t)+9A^{2}\Omega ^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\Omega t)}}=5A\Omega$

Esta cantidad es constante por lo que ya sabemos además que el movimiento es uniforme.

Hallamos ahora el radio de curvatura

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{3}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}={\frac {(5A\Omega )^{3}}{A^{2}\Omega ^{3}{\sqrt {15^{2}+20^{2}}}}}=5A$

El radio de curvatura es constante.

Si el movimiento es plano y el radio de curvatura es constante, se trata de un movimiento circular.

Desplazamiento y distancia

Desplazamiento

Lo da la diferencia entre la posición final y la inicial

$\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{f}-{\vec {r}}_{i}$

Siendo la posición inicial

${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}(t=0)=4A\cdot 1{\vec {\imath }}+5A\cdot 0{\vec {\jmath }}+3A\cdot 1{\vec {k}}=4A{\vec {\imath }}+3A{\vec {k}}$

y la final la correspondiente a $\Omega t=\pi$

${\vec {r}}_{f}={\vec {r}}(t=\pi /\Omega )=4A\cdot (-1){\vec {\imath }}+5A\cdot 0{\vec {\jmath }}+3A\cdot (-1){\vec {k}}=-4A{\vec {\imath }}-3A{\vec {k}}$

El desplazamiento vale entonces

$\Delta {\vec {r}}=-8A{\vec {\imath }}-6A{\vec {k}}$

El valor absoluto de este desplzamiento es la distancia en línea recta entre los dos puntos

$|\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {64A^{2}+36A^{2}}}=10A$

Distancia

La calculamos integrando la rapidez

$\Delta s=\int _{0}^{\pi /\Omega }|{\vec {v}}|\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi /\Omega }5A\Omega \,\mathrm {d} t=5\pi A$

Esta distancia medida sobre la curva es mayor que la que se tiene en línea recta, que es la menor posible.

La interpretación es sencilla. Este movimiento es periódico. Cuando el argumento $\Omega t$ varía en $2\pi$ el seno y el coseno se repiten y la partícula vuelve a estar en la posición inicial. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es el periodo de revolución

$T={\frac {2\pi }{\Omega }}$

Por tanto, el intervalo que estamos considerando es media vuelta. La distancia en línea recta es el diámetro de la circunferencia

$|\Delta {\vec {r}}|=2R=10A$

y la distancia sobre la curva es la longitud de media circunferencia

$\Delta s=\pi R=5\pi A\,$

Tipo de movimiento

En los apartados anteriores ya hemos establecido todo lo necesario para identificar el movimiento:

• Es plano
• Tiene radio de curvatura constante
• Tiene rapidez constante

Por tanto se trata de un movimiento circular uniforme.

Centro de la circunferencia

El centro de la circunferencia coincide con el centro de curvatura

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

En este caso, al ser el movimiento uniforme la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es normal, por lo que

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|{\vec {a}}_{n}|}}={\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}={\frac {-4A\Omega ^{2}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\imath }}-5A\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}-3A\Omega ^{2}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {k}}}{5A\Omega ^{2}}}=-{\frac {4}{5}}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}-{\frac {3}{5}}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {k}}$

El radio de la circunferencia vale 5A, por lo que el centro se halla en

${\vec {r}}_{c}=\left(4A\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\imath }}+55A\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}+3A\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {k}}\right)+5A\left(-{\frac {4}{5}}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}-{\frac {3}{5}}\,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {k}}\right)={\vec {0}}$

Es decir, el centro de la circunferencia es el propio origen de coordenadas.

Esto se podía haber deducido de una forma más sencilla observando que cada coordenada es un seno o un coseno, por lo que la trayectoria es simétrica alrededor de $x=y=z=0$ que es por tanto el centro de la circunferencia.

Cálculo de la velocidad angular

Una vez que tenemos identificado el movimiento como circular podemos identificar la velocidad angular a partir de la ecuación

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

La velocidad angular es un vector que tiene por dirección la del eje de la circunferencia, por sentido el dado por la regla de la mano derecha y por módulo el que resulta de

$|{\vec {\omega }}|={\frac {|{\vec {v}}|}{R}}$

Existen varias formas de determinar este vector

A partir del módulo, dirección y sentido

El módulo de esta velocidad angular cumple

$|{\vec {\omega }}|={\frac {|{\vec {v}}|}{R}}={\frac {5\Omega A}{5A}}=\Omega$

La dirección es la del eje. Este eje está en la dirección de la normal al plano de la circunferencia, dada por el vector unitario

${\vec {B}}={\frac {3}{5}}{\vec {\imath }}-{\frac {4}{5}}{\vec {k}}$

Por tanto

${\vec {\omega }}=\pm |{\vec {\omega }}|{\vec {B}}=\pm \left({\frac {3}{5}}\Omega {\vec {\imath }}-{\frac {4}{5}}\Omega {\vec {k}}\right)$

La dualidad de signos no se debe a que tenga los dos valores al mismo tiempo, sino a que aun no tenemos claro el sentido de este vector, ya que la regla de la mano derecha no es inmediata de ver en 3D.

La forma más fácil de determinar el sentido es yendo directamente a la ecuación

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

donde ya hemos aplicado que sabemos que la partícula da vueltas alrededor del origen.

Desarrollando la expresión queda

$-4A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\imath }}+5A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t){\vec {\jmath }}-3A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {k}}=\pm \left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\displaystyle {\frac {3}{5}}\Omega &0&\displaystyle -{\frac {4}{5}}\Omega \\4A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t)&5A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)&3A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t)\end{matrix}}\right|$

Desarrollando el determinante e igualando a la velocidad que aparece en el primer miembro se llega a que el signo correcto es el negativo y por tanto:

${\vec {\omega }}=-{\frac {3}{5}}\Omega {\vec {\imath }}+{\frac {4}{5}}\Omega {\vec {k}}$

Despejando de la velocidad

Lo que parecería más sencillo sería despejar de la expresión

${\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\vec {v}}$

Pero como sabemos, solo con el producto vectorial no tenemos información suficiente para hallar un vector y desde luego no podemos dividir por uno.

Tal como se ve en un problema de álgebra vectorial, para poder hallar un vector ${\vec {\omega }}$ necesitamos tanto su producto vectorial por uno conocido ${\vec {r}}$ como su producto escalar.

Sin embargo, en este caso, sí conocemos este producto escalar. El vector de posición ${\vec {r}}$ está en el plano de la circunferencia y ${\vec {\omega }}$ es perpendicular a este plano, por lo que

${\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}={\vec {0}}$

Por tanto sí tenemos los dos productos y podemos hallar la velocidad angular.

En la ecuación para la velocidad lineal multiplicamos vectorialmente por la posición

${\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})={\vec {r}}\times {\vec {v}}$

Desarrollamos el doble producto vectorial

$\overbrace {({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})} ^{=R^{2}}{\vec {\omega }}-\overbrace {({\vec {r}}\cdot {\vec {\omega }})} ^{=0}{\vec {r}}=R^{2}{\vec {\omega }}={\vec {r}}\times {\vec {v}}$

y por tanto

${\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{R^{2}}}$

Sustituimos aquí las expresiones del radio, la posición y la velocidad

${\vec {\omega }}={\frac {1}{25A^{2}}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\4A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t)&5A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)&3A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t)\\-4A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)&5A\Omega \,\mathrm {cos} (\Omega t)&-3A\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)\end{matrix}}\right|$

Desarrollando el determinante se llega finalmente a que

${\vec {\omega }}=-{\frac {3}{5}}\Omega {\vec {\imath }}+{\frac {4}{5}}\Omega {\vec {k}}$