(Página creada con «== Enunciado == right Un hilo rígido (sólido "0") de longitud <math>L</math> rota alrededor del eje <math>OZ_1</math> con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math>, de modo que el punto <math>A</math> está fijo y el punto <math>B</math> describe una circunferencia sobre el plano <math>OX_1Y_1</math>. El hilo forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el plano <math>OX_1Y_1</math>. Un disco plano de masa <math>m</m…»)
 
(Página creada con «== Enunciado == Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones #<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math> #<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math> siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>. == Solución == De la primera condición tenemos que <math>\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}</math> con <math>{\vec{D}}\cdot{\…»)
 
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
== Enunciado ==
[[Imagen:MR_disco_hilo_rotante_enunciado.png|right]]
Un hilo rígido (sólido "0") de longitud <math>L</math> rota alrededor del eje <math>OZ_1</math> con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math>, de modo que el punto <math>A</math> está fijo y el punto <math>B</math> describe una circunferencia sobre el plano <math>OX_1Y_1</math>. El hilo forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el plano <math>OX_1Y_1</math>. Un disco plano de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> desliza por el hilo a la vez que rota alrededor de él con velocidad angular constante <math>\omega_0</math>.  En el instante inicial el centro del disco estaba en el punto <math>A</math>. Se escoge un sólido "0" de modo que el plano <math>OX_0Z_0</math> contiene siempre al hilo. El sistema "2", solidario con el disco, se escoge de modo que el eje <math>GZ_2</math> coincide con su eje de simetría y el eje <math>GY_2</math> es paralelo al eje <math>OY_0</math>. El punto <math>G</math> del disco se mueve sobre el hilo con rapidez uniforme <math>v_0</math>, como se indica en la figura.
#Calcula <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>.
#Calcula la velocidad absoluta del  centro del disco en el instante inicial.
#¿Qué condición tiene que cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación pura en el instante inicial?
#Supongamos que <math>\omega_0=0</math>. En este caso, el momento cinético del disco respecto de su centro de masas y su energía cinética en el instante en el que el punto <math>G</math> está en el punto  <math>B</math>.


== Solución ==
Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones
#<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math>
#<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math>


=== Cálculo de <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>===
siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>;
pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>.


==== Movimiento {01} ====
== Solución ==
Tenemos
De la primera condición tenemos que <math>\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}</math>
<center>
con <math>{\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0</math>. Si ahora multiplicamos
<math>
vectorialmente por <math>\vec{A}</math> tenemos
\vec{\omega}_{01} = \Omega_0\,\vec{k}_0,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} =\vec{0}.
</math>
</center>
La derivada temporal es
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} =  \vec{0},
\qquad\qquad
\vec{a}^{\,O}_{01} =\vec{0}.
</math>
</center>
==== Movimiento {20} ====
Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} =  \omega_0\,\vec{k}_2
\qquad\qquad
\vec{v}_{20} =-v_0\,\vec{k}_2
</math>
</center>
La derivada temporal es
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20} =  \vec{0},
\qquad\qquad
\vec{a}_{20} =\vec{0}.
</math>
</center>
No ponemos letra en la velocidad y aceleración pues es una traslación.
==== Movimiento {21} ====
Usando la composición {21}={20} + {01} tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =
\Omega_0\,\vec{k}_0 + \omega_0\,\vec{k}_2
</math>
</center>
Expresamos el vector <math>\vec{k}_2</math> en la base "0"
<center>
<math>
\vec{k}_2 = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_0 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{k}_0
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_0 +
\left(\Omega_0 + \dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{k}_0.
</math>
</center>
También tenemos
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} +\vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
  \vec{A}\times\vec{B} =
=
  \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})=
-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\omega_0\Omega_0\,\vec{\jmath}_0.
  \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to
  \vec{A}\times\vec{D} = 0.
</math>
</math>
</center>
</center>
Nótese que aunque {20} y {01} son dos rotaciones con aceleración angular nula, su composición  tiene aceleración angular no nula.
Es decir, <math>\vec{D}</math> es a la vez perpendicular y paralelo a
<math>\vec{A}</math>. Esto sólo puede ocurrir si <math>\vec{D}=0</math>.


=== Velocidad del centro del disco en el instante inicial ===
Si la segunda condición no se cumple, entonces
Usando la misma composición
<math>\vec{A}\times\vec{D} \neq 0</math>, por lo que <math>\vec{D}</math> es
<center>
distinto de cero, con lo cual <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>.
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}.
</math>
</center>
En el instante inicial el punto <math>G</math> está en el eje de giro del movimiento {01}, en el punto <math>A</math>. Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{01}(t=0) = \vec{v}^{\,G} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} = \vec{0}.
</math>
</center>
El primer sumando es cero pues <math>\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}</math>, y el segundo también pues <math>\vec{\omega}_{01}</math> y <math>\overrightarrow{OA}</math> son paralelos. Entonces
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21}(t=0) = \vec{v}^{\,G}_{20} = -v_0\,\vec{k}_2 = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\,\left(\vec{\imath}_0 - \vec{k}_0\right).
</math>
</center>
 
=== Condición para que el movimiento {21} sea una rotación pura en el instante inicial ===
La condición que debe cumplirse es, que en ese instante, el invariante escalar del movimiento sea nulo, es decir
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}=0
\Longrightarrow
\sqrt{2}\,\omega_0 + \Omega_0 = 0.
</math>
</center>
 
=== Cálculo del momento angular y la energía cinética ===
Con la condición <math>\omega_0=0</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \Omega_0\,\vec{k}_0 =
\dfrac{\Omega_0}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_2 + \dfrac{\Omega_0}{\sqrt{2}}\,\vec{k}_2.
</math>
</center>
El momento angular respecto al centro de masas es
<center>
<math>
\vec{L}_G = \overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21}
</math>
</center>
El tensor de inercia es
<center>
<math>
\overset\leftrightarrow{I}_G =
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1/2 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]_2
</math>
</center>
con <math>I=mR^2/2</math>. El momento de inercia buscado es
<center>
<math>
\vec{L}_G
=I
\left[
\begin{array}{ccc}
1/2 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]_2
\left[
\begin{array}{c}
\Omega_0/\sqrt{2} \\ 0 \\ \Omega_0/\sqrt{2}
\end{array}
\right]_2
=
\dfrac{I\Omega_0}{\sqrt{2}}\,\left(\dfrac{1}{2}\,\vec{\imath}_2 + \vec{k}_2\right).
</math>
</center>
Volvemos a la base "0", teniendo en cuenta que
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\imath}_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_0 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{k}_0\\
\vec{k}_2 = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath}_0 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{k}_0
\end{array}
</math>
</center>
con lo que obtenemos
<center>
<math>
\vec{L}_G = -\dfrac{1}{8}mR^2\Omega_0\,(\vec{\imath}_0-3\vec{k}_0).
</math>
</center>
Hay que señalar que, para resolver la pregunta, hemos escogido los ejes del sólido "2" de modo que en el instante en que el centro del disco esté en el punto <math>B</math>, el eje <math>X_2</math> esté en el plano <math>OX_0Z_0</math>. Siempre podemos hacer esto, gracias a la degeneración diametral del disco.


Para calcular la energía cinética aplicamos el Teorema de Koening
[[Categoría:Vectores libres|0]]
<center>
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
<math>
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
T = T_{tras} + T_{rot}.
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
T_{tras} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2.
</math>
</center>
En el instante pedido
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{B}_{20} = -v_0\,\vec{k}_2
</math>
</center>
y
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}
=
\dfrac{L\Omega_0}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_0  + \dfrac{L\Omega_0}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_0 - \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\,\vec{k}_0.
</math>
</center>
y
<center>
<math>
T_{tras} = \dfrac{1}{2}m\,\left(v_0^2 + \dfrac{L^2\Omega_0^2}{2}\right).
</math>
</center>
Para la energía cinética de rotación tenemos
<center>
<math>
T_{rot} = \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21}
=
\dfrac{3}{16}mR^2\Omega_0^2.
</math>
</center>
La energía cinética total es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{16}m\,\left(8v_0^2 + (4L^2+3R^2)\Omega_0^2\right).
</math>
</center>
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Revisión actual - 11:44 26 sep 2023

Enunciado

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

siendo , entonces ; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces .

Solución

De la primera condición tenemos que con . Si ahora multiplicamos vectorialmente por tenemos

Es decir, es a la vez perpendicular y paralelo a . Esto sólo puede ocurrir si .

Si la segunda condición no se cumple, entonces , por lo que es distinto de cero, con lo cual .

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