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| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado == | | == Enunciado == |
| [[Imagen:F1_GIA_discos_engarzados_enunciado.png|right]]
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| En la figura se muestra un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), que gira con velocidad angular <math>\omega_{20}(t)=\omega</math>, constante, alrededor del eje perpendicular a él, <math>O_1X_0</math>. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante <math>\omega_{01}(t)=\Omega</math>, alrededor del eje vertical <math>O_1Z_1</math> de un sistema de referencia fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas <math>\vec{v}^B_{21}</math> y <math>\vec{a}^B_{21}</math> en el instante representado en la figura.
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| == Solución ==
| | Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones |
| El problema nos pide determinar el movimiento del punto <math>B</math>,
| | #<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math> |
| perteneciente al sólido "2", en el
| | #<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math> |
| instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento
| |
| {21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al | |
| eje <math>O_1Z_1</math> y la rotación del sólido "2" respecto al eje <math>O_1X_0</math>:
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| <center><math>
| |
| \{21\} = \{20\}+ \{01\}
| |
| </math></center> | |
| Analicemos en detalle estos dos movimientos
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| ===Movimiento {01} === | | siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>; |
| La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad
| | pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>. |
| angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso
| |
| podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder
| |
| determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la
| |
| aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos
| |
| a determinar en este movimiento.
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| En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor
| | == Solución == |
| del eje <math>O_1Z_1</math>. El enunciado nos dice que la velocidad angular vale
| | De la primera condición tenemos que <math>\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}</math> |
| <math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega</math> y es constante en el tiempo. Tenemos entonces
| | con <math>{\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0</math>. Si ahora multiplicamos |
| <center><math>
| | vectorialmente por <math>\vec{A}</math> tenemos |
| \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad
| | <center> |
| \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}
| | <math> |
| </math></center>
| | \vec{A}\times\vec{B} = |
| Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes <math>O_1Z_0</math> y
| | \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})= |
| <math>O_1Z_1</math> son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos
| | \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to |
| permite, por un lado, expresar <math>\vec{\omega}_{01}</math> en función de <math>\vec{k}_0</math> ó
| | \vec{A}\times\vec{D} = 0. |
| <math>\vec{k}_1</math>, y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que
| | </math> |
| <math>\vec{k}_1</math> no cambia en el tiempo, con lo cual <math>\vec{\alpha}_{01}</math> es nula.
| | </center> |
| Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en
| | Es decir, <math>\vec{D}</math> es a la vez perpendicular y paralelo a |
| él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el
| | <math>\vec{A}</math>. Esto sólo puede ocurrir si <math>\vec{D}=0</math>. |
| origen <math>O_1</math>, podemos caracterizar completamente el movimiento {01}
| |
| | |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
| |
| \vec{\alpha}_{01}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}
| |
| \\ &&\\
| |
| \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_0\equiv O_1Z_1
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
| |
| Como queremos determinar el movimiento del punto <math>B</math>, vamos a calcular
| |
| <math>\vec{v}_{01}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{01}^{B}</math>. Utilizamos las ecuaciones del
| |
| campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0"
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{v}_{01}^{B} = \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}=
| |
| (\Omega\,\vec{k}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=\vec{0}\\ \\
| |
| \vec{a}_{01}^{B} = \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
| |
| \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})=\vec{0}
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
| |
| Este resultado es razonable, pues el punto <math>B</math> pertenece al eje de
| |
| giro del movimiento.
| |
| | |
| ===Movimiento {20} ===
| |
| En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al
| |
| sólido "2". Hemos elegido el eje <math>O_1X_0</math> coincidiendo con este eje
| |
| de giro. El enunciado dice que la velocidad angular <math>\omega_{20}</math> es
| |
| constante en el tiempo, por tanto
| |
| <center><math>
| |
| \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad
| |
| \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}
| |
| </math></center> | |
| En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de
| |
| <math>\vec{\omega}_{20}</math> en función de <math>\vec{\imath}_0</math> es válida en cualquier instante de | |
| tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo <math>\vec{\imath}_0</math> constante, con lo
| |
| que <math>\vec{\alpha}_{20}</math> resulta ser nula.
| |
| | |
| | |
| Como el eje de rotación es la recta <math>O_1X_0</math>, el punto <math>O_1</math> es de
| |
| nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización
| |
| del movimiento {20} es
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{lcl} | |
| \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\imath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
| |
| \vec{\alpha}_{20}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{20}^{O_1}=\vec{0}
| |
| \\ &&\\
| |
| \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1X_0
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
| |
| Determinamos también los vectores <math>\vec{v}_{20}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{20}^{B}</math>
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l} | |
| \vec{v}_{20}^{B} = \vec{v}_{20}^{O_1}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B}=
| |
| (\omega\,\vec{\imath}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
| |
| \vec{a}_{20}^{B} = \vec{a}_{20}^{O_1}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{O_1B} +
| |
| \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0
| |
| \end{array} | |
| </math></center>
| |
| En este movimiento, el punto <math>B</math> realiza un movimiento circular
| |
| uniforme, con lo cual es razonable que <math>\vec{a}_{20}^{B}</math> apunte hacia
| |
| el punto <math>O_1</math>.
| |
| | |
| ===Movimiento {21} ===
| |
| Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos
| |
| {21}={20}+{01}. Tenemos
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0\\ \\
| |
| \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} =
| |
| (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\omega\,\vec{\imath}_0) = \omega\Omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
| |
| \vec{v}_{21}^{\,O_1} = \vec{v}_{20}^{\,O_1}+\vec{v}_{01}^{\,O_1}=\vec{0}\\
| |
| \\
| |
| \vec{a}_{21}^{\,O_1} = \vec{a}_{20}^{\,O_1}+\vec{a}_{01}^{\,O_1} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O_1}_{20}=\vec{0}
| |
| \end{array}
| |
| </math></center> | |
| El eje instantáneo de rotación es paralelo a <math>\vec{\omega}_{21}</math> y pasa por
| |
| <math>O_1</math>, pues <math>\vec{v}^{\mathrm{min}}=\vec{v}_{21}^{O_1}</math>, pues ésta es
| |
| cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| \vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
| |
| \vec{\alpha}_{21}=\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0}
| |
| \\ &&\\
| |
| \Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv \lambda\, \vec{\omega}_{21}
| |
| \end{array}
| |
| </math></center> | |
| Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con
| |
| velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no
| |
| nula. Esto se debe a que la dirección de <math>\Delta_{\mathrm{EIR}}</math>
| |
| cambia con el tiempo. El vector <math>\vec{\alpha}_{21}</math> apunta en la dirección en
| |
| que se produce este cambio.
| |
| | |
| ===Velocidad y aceleración del punto B === | |
| Ahora podemos calcular <math>\vec{v}_{21}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{21}^{B}</math>. Si usamos la
| |
| composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y
| |
| aceleraciones calculadas anteriormente
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{20}^B+\vec{v}_{01}^B = -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
| |
| \vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{20}^B+\vec{a}_{01}^B
| |
| +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^B=-R\,\omega^2\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
| |
|
| |
|
| [[Imagen:F1_GIA_discos_engarzados_final.png|right|400px]]
| | Si la segunda condición no se cumple, entonces |
| | <math>\vec{A}\times\vec{D} \neq 0</math>, por lo que <math>\vec{D}</math> es |
| | distinto de cero, con lo cual <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>. |
|
| |
|
| También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del
| | [[Categoría:Vectores libres|0]] |
| movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de
| | [[Categoría:Física I (G.I.A.)]] |
| este movimiento
| | [[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]] |
| <center><math>
| | [[Categoría:Física I (G.I.C.)]] |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}=
| |
| -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
| |
| \vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B} +
| |
| \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
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| En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema.
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| [[Categoría:Problemas de movimiento relativo]] | |
