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| Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Enunciado== | | == Enunciado == |
| Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias
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| <center><math>\vec{r}(t)=4A\cos(\Omega t)\vec{\imath}+ 5A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}+3A\cos(\Omega t)\vec{k}</math></center>
| | Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones |
| | #<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math> |
| | #<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math> |
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| con A y Ω constantes.
| | siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>; |
| | pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>. |
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| # ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
| | == Solución == |
| # ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
| | De la primera condición tenemos que <math>\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}</math> |
| # Justifique que este movimiento es circular y uniforme
| | con <math>{\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0</math>. Si ahora multiplicamos |
| # Determine la posición del centro del movimiento circular
| | vectorialmente por <math>\vec{A}</math> tenemos |
| # Calcule la velocidad angular de este movimiento circular
| | <center> |
| | <math> |
| | \vec{A}\times\vec{B} = |
| | \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})= |
| | \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to |
| | \vec{A}\times\vec{D} = 0. |
| | </math> |
| | </center> |
| | Es decir, <math>\vec{D}</math> es a la vez perpendicular y paralelo a |
| | <math>\vec{A}</math>. Esto sólo puede ocurrir si <math>\vec{D}=0</math>. |
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| ==Trayectoria==
| | Si la segunda condición no se cumple, entonces |
| Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.
| | <math>\vec{A}\times\vec{D} \neq 0</math>, por lo que <math>\vec{D}</math> es |
| | distinto de cero, con lo cual <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>. |
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| ===Identificación geométrica===
| | [[Categoría:Vectores libres|0]] |
| Si separamos las tres componentes del movimiento
| | [[Categoría:Física I (G.I.A.)]] |
| | | [[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]] |
| <center><math>\vec{r}:\left\{\begin{array}{rcl} x & = &4A\cos(\Omega t) \\ y & = & 5A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ z & = & 3A\cos(\Omega t)\end{array}\right.</math></center>
| | [[Categoría:Física I (G.I.C.)]] |
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| De aquí es evidente que
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| <center><math>z = \frac{3}{4}x\qquad\Rightarrow\qquad 3x-4z =0</math></center>
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| Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como
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| <center><math>\vec{n}\cdot\vec{r}=0</math></center>
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| ya que el vector de posición es
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| <center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}</math></center>
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| Si escribimos
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| <center><math>\vec{n} = a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k}</math></center>
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| El producto escalar es
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| <center><math>\vec{n}\cdot\vec{r} = ax + by +cz = 0</math></center>
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| Igualando coeficiente a coeficiente
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| <center><math>a = 3,\qquad b = 0,\qquad c = -4</math></center>
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| así que un vector normal al plano es
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| <center><math>\vec{n}=3\vec{\imath}-4\vec{k}</math></center>
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| que es un vector constante. Si queremos un unitario perpendicular al plano
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| <center><math>|\vec{n}|=\sqrt{3^2+4^2} = 5</math></center>
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| y queda
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| <center><math> \vec{B}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{k}</math></center>
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| El vector <math>\vec{B}</math> es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.
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| Además tenemos que se cumple
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| <center><math>x^2 + z^2 = 25A^2\cos^2(\Omega t)\qquad\qquad y^2 = 25A^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)</math></center>
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| y sumando estas dos
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| <center><math>x^2 + y^2 + z^2 = 25A^2\,</math></center>
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| que es la ecuación de una esfera de radio <math>R=5A</math>.
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| la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.
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| <center>[[Archivo:corte-plano-esfea.png]]</center>
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| ===Procedimiento cinemático===
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| El método anterior es muy simple para determinar que el movimiento es plano, pero no siempre se encuentra a la primera qué combinación lineal de las variables nos da la ecuación del plano, si este existe.
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| Por ello, existen procedimiento sistemáticos para determinar esta situación.
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| Uno es el siguiente: hay que hallar la velocidad, la aceleración y la derivada de ésta respecto al tiempo. El movimiento es plano si y solo si se cumple la condición
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| <center><math>(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\dot{\vec{a}}=0</math></center>
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| En nuestro caso tenemos
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| <center><math>\begin{array}{ccccccc}
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| \vec{v}(t) & = & -4A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& + & 5A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\\
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| \vec{a}(t)& = & -4A\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath}& - & 5A\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3A\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\\
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| \dot{\vec{a}}(t) & = & +4A\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& - &5A\Omega^3\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& + & 3A\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\end{array}
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| </math></center>
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| El producto vectorial de la velocidad y la aceleración lo da el el determinante
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| <center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t) & 5A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)& - 3A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\
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| -4A\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)& -5A\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)& -3A\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\end{matrix}\right|=-15A^2\Omega^3\vec{\imath}+20A^2\Omega^3\vec{k}</math></center>
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| Siendo el producto mixto de los tres vectores
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| <center><math>(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\dot{\vec{a}}=
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| -15A^2\Omega^3\left(4A\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)+20A^2\Omega^3\left(3A\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)=0</math></center>
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| Con eso ya tenemos que la trayectoria es plana. Para ver que además es circular vamos a calcular el radio de curvatura, según la fórmula
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| <center><math>R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}</math></center>
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| La rapidez del movimiento vale
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| <center><math>|\vec{v}|=\sqrt{16A^2\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)+25A^2\Omega^2\mathrm{cos}^2(\Omega t)+9A^2\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)}=5A\Omega</math></center>
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| Esta cantidad es constante por lo que ya sabemos además que el movimiento es uniforme.
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| Hallamos ahora el radio de curvatura
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| <center><math>R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{(5A\Omega)^3}{A^2\Omega^3\sqrt{15^2+20^2}}=5A</math></center>
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| El radio de curvatura es constante.
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| Si el movimiento es plano y el radio de curvatura es constante, se trata de un movimiento circular.
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| ==Desplazamiento y distancia==
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| ===Desplazamiento===
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| Lo da la diferencia entre la posición final y la inicial
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| <center><math>\Delta\vec{r}=\vec{r}_f-\vec{r}_i</math></center>
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| Siendo la posición inicial
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| <center><math>\vec{r}_i=\vec{r}(t=0)=4A\cdot 1\vec{\imath}+5A\cdot0\vec{\jmath}+3A\cdot 1\vec{k}=4A\vec{\imath}+3A\vec{k}</math></center>
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| y la final la correspondiente a <math>\Omega t = \pi</math>
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| <center><math>\vec{r}_f=\vec{r}(t=\pi/\Omega)=4A\cdot(- 1)\vec{\imath}+5A\cdot0\vec{\jmath}+3A\cdot(- 1)\vec{k}=-4A\vec{\imath}-3A\vec{k}</math></center>
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| El desplazamiento vale entonces
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| <center><math>\Delta \vec{r}=-8A\vec{\imath}-6A\vec{k}</math></center>
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| El valor absoluto de este desplzamiento es la distancia en línea recta entre los dos puntos
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| <center><math>|\Delta\vec{r}| = \sqrt{64A^2+36A^2}=10A</math></center>
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| ===Distancia===
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| La calculamos integrando la rapidez
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| <center><math>\Delta s = \int_0^{\pi/\Omega} |\vec{v}|\mathrm{d}t = \int_0^{\pi/\Omega} 5A\Omega\,\mathrm{d}t = 5\pi A</math></center>
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| Esta distancia medida sobre la curva es mayor que la que se tiene en línea recta, que es la menor posible.
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| La interpretación es sencilla. Este movimiento es periódico. Cuando el argumento <math>\Omega t</math> varía en <math>2\pi</math> el seno y el coseno se repiten y la partícula vuelve a estar en la posición inicial. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es el periodo de revolución
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| <center><math>T=\frac{2\pi}{\Omega}</math></center>
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| Por tanto, el intervalo que estamos considerando es media vuelta. La distancia en línea recta es el diámetro de la circunferencia
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| <center><math>|\Delta\vec{r}| = 2R = 10A</math></center>
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| y la distancia sobre la curva es la longitud de media circunferencia
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| <center><math>\Delta s = \pi R = 5\pi A\,</math></center>
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| ==Tipo de movimiento==
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| En los apartados anteriores ya hemos establecido todo lo necesario para identificar el movimiento:
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| * Es plano
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| * Tiene radio de curvatura constante
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| * Tiene rapidez constante
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| Por tanto se trata de un movimiento circular uniforme.
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| ==Centro de la circunferencia==
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| El centro de la circunferencia coincide con el centro de curvatura
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| <center><math>\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}</math></center>
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| En este caso, al ser el movimiento uniforme la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es normal, por lo que
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| <center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=
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| \frac{ -4A\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath} - 5A\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath} - 3A\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}}{5A\Omega^2}=</math><math>=-\frac{4}{5}\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath} - \mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath} - \frac{3}{5}\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}</math></center>
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| El radio de la circunferencia vale 5A, por lo que el centro se halla en
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| <center><math>\vec{r}_c = \left(4A\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath} +55A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath} +3A\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\right)+5A\left(-\frac{4}{5}\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath} - \mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath} - \frac{3}{5}\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\right)=\vec{0}</math></center>
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| Es decir, el centro de la circunferencia es el propio origen de coordenadas.
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| Esto se podía haber deducido de una forma más sencilla observando que cada coordenada es un seno o un coseno, por lo que la trayectoria es simétrica alrededor de <math>x=y=z=0</math> que es por tanto el centro de la circunferencia.
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| ==Cálculo de la velocidad angular==
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| Una vez que tenemos identificado el movimiento como circular podemos identificar la velocidad angular a partir de la ecuación
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| <center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_c)</math></center>
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| La velocidad angular es un vector que tiene por dirección la del eje de la circunferencia, por sentido el dado por la regla de la mano derecha y por módulo el que resulta de
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| <center><math>|\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}|}{R}</math></center>
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| Existen varias formas de determinar este vector
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| ===A partir del módulo, dirección y sentido===
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| El módulo de esta velocidad angular cumple
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| <center><math>|\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}|}{R}=\frac{5\Omega A}{5A}=\Omega</math></center>
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| La dirección es la del eje. Este eje está en la dirección de la normal al plano de la circunferencia, dada por el vector unitario
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| <center><math>\vec{B}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{k}</math></center>
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| Por tanto
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| <center><math>\vec{\omega}=\pm |\vec{\omega}|\vec{B}=\pm\left(\frac{3}{5}\Omega\vec{\imath}-\frac{4}{5}\Omega\vec{k}\right)</math></center>
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| La dualidad de signos no se debe a que tenga los dos valores al mismo tiempo, sino a que aun no tenemos claro el sentido de este vector, ya que la regla de la mano derecha no es inmediata de ver en 3D.
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| La forma más fácil de determinar el sentido es yendo directamente a la ecuación
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| <center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>
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| donde ya hemos aplicado que sabemos que la partícula da vueltas alrededor del origen.
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| Desarrollando la expresión queda
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| <center><math> -4A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath} + 5A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath} - 3A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}=\pm \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \displaystyle\frac{3}{5}\Omega & 0 & \displaystyle -\frac{4}{5}\Omega \\ 4A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t) & 5A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t) & 3A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\end{matrix}\right|</math></center>
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| Desarrollando el determinante e igualando a la velocidad que aparece en el primer miembro se llega a que el signo correcto es el negativo y por tanto:
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| <center><math>\vec{\omega}=-\frac{3}{5}\Omega\vec{\imath}+\frac{4}{5}\Omega\vec{k}</math></center>
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| ===Despejando de la velocidad===
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| Lo que parecería más sencillo sería despejar de la expresión
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| <center><math>\vec{\omega}\times\vec{r}=\vec{v}</math></center>
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| Pero como sabemos, solo con el producto vectorial no tenemos información suficiente para hallar un vector y desde luego no podemos dividir por uno.
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| Tal como se ve en un problema de [[Determinaci%C3%B3n_de_un_vector_a_partir_de_sus_proyecciones|álgebra vectorial]], para poder hallar un vector <math>\vec{\omega}</math> necesitamos tanto su producto vectorial por uno conocido <math>\vec{r}</math> como su producto escalar.
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| Sin embargo, en este caso, sí conocemos este producto escalar. El vector de posición <math>\vec{r}</math> está en el plano de la circunferencia y <math>\vec{\omega}</math> es perpendicular a este plano, por lo que
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| <center><math>\vec{\omega}\cdot\vec{r}=\vec{0}</math></center>
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| Por tanto sí tenemos los dos productos y podemos hallar la velocidad angular.
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| En la ecuación para la velocidad lineal multiplicamos vectorialmente por la posición
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| <center><math>\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{r}\times\vec{v}</math></center>
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| Desarrollamos el doble producto vectorial
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| <center><math>\overbrace{(\vec{r}\cdot\vec{r})}^{=R^2}\vec{\omega}-\overbrace{(\vec{r}\cdot\vec{\omega})}^{=0}\vec{r}=R^2\vec{\omega}=\vec{r}\times\vec{v}</math></center>
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| y por tanto
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| <center><math>\vec{\omega}=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{R^2}</math></center>
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| Sustituimos aquí las expresiones del radio, la posición y la velocidad
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| <center><math>\vec{\omega}=\frac{1}{25A^2} \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t) & 5A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t) & 3A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t) \\ -4A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t) & 5A\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t) & - 3A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\end{matrix}\right|</math></center>
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| Desarrollando el determinante se llega finalmente a que
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| <center><math>\vec{\omega}=-\frac{3}{5}\Omega\vec{\imath}+\frac{4}{5}\Omega\vec{k}</math></center>
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| [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIOI)]] | |
