Disco deslizando sobre hilo rotante, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)

Enunciado

Un cilindro de radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). Los ejes $GX_{2}Y_{2}Z_{2}$ son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares $GX_{0}Y_{0}Z_{0}$ que cumplen las siguientes propiedades: el $X_{0}$ es paralelo al eje del cilindro; el eje $Z_{0}$ es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje $Y_{0}$ con el eje $X_{1}$ es $\phi$. El punto $A$ señala el punto geométrico en la vertical de $G$ donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son $x_{1}$, $y_{1}$. Estas son también las coordenadas de $G$ en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.

1. Encuentra la reducción cinemática en el punto $G$ de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.

2. Si el tensor de inercia del cilindro en $G$ es de la forma

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{2}\end{array}}\right]_{2}$

con $I_{1}$, $I_{2}$ conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en $G$ y su energía cinética.

Solución

Reducciones cinemáticas en $G$

De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos:

1. ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$, pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1".
2. ${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0}$ , pues el eje $Y_{0}$ forma un ángulo $\phi$ con el eje $X_{1}$.
3. ${\vec {v}}_{20}^{G}={\vec {0}}$, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
4. ${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}$, pues el eje $Y_{2}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $Y_{0}$.

Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas

Movimiento {21}

Obtenemos ${\vec {\omega }}_{21}$ de la composición

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0}.$

Como ya tenemos ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$, aplicamos Chasles entre los puntos $A$ y $G$ para el movimiento {21}

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0})\times (R\,{\vec {k}}_{0})=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Movimiento {20}

Este lo tenemos directamente del análisis del enunciado

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.$

Movimiento {01}

Tenemos ${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0}$ del análisis del enunciado. Obtenemos la velocidad en $G$ usando las leyes de composición

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}\to {\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{21}^{\,G}-{\vec {v}}_{20}^{\,G}=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

La velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,G}$ también se puede obtener derivando respecto al tiempo el vector de posición

${\vec {r}}_{01}^{\,G}={\overrightarrow {O_{1}G}}=x_{1}\,{\vec {\imath }}_{1}+y_{1}\,{\vec {\jmath }}_{1}+R\,{\vec {k}}_{1}.$

Este vector de posición se puede derivar porque apunta siempre al centro del cilindro. Haciendo la derivada tenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {O_{1}G}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\dot {x}}_{1}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\dot {y}}_{1}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Esta velocidad esta expresada en función de $x_{1}$ e $y_{1}$- Hay una ligadura entre estas coordenadas y las coordenadas angulares. Para verla expresamos ${\vec {\jmath }}_{0}$ en la base "1"

${\vec {\jmath }}_{0}=\cos \phi \,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} \,\phi \,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Con esto tenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,G}=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}=-R{\dot {\theta }}\cos \phi \,{\vec {\imath }}_{1}-R{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \,\phi \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Comparando las dos expresiones de ${\vec {v}}_{01}^{\,G}$ obtenemos

${\dot {x}}_{1}=-R{\dot {\theta }}\cos \phi ,\qquad {\dot {y}}_{1}=-R{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \phi .$

Momento angular y energía cinética

El momento angular respecto al CM es

${\vec {L}}_{G}={\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}_{21}.{\begin{array}{c}\end{array}}$

Como el tensor está expresado en la base "2", hay que expresar el vector rotación en esa base. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\imath }}_{0}={\vec {\imath }}_{2},\\{\vec {k}}_{0}=\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{2}+\cos \theta \,{\vec {k}}_{2}.\end{array}}$

Entonces

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{2}+{\dot {\phi }}\cos \theta \,{\vec {k}}_{2}.$

El momento cinético es

${\vec {L}}_{G}=\left[{\begin{array}{ccc}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\{\dot {\phi }}\cos \theta \end{array}}\right]_{2}=[I_{1}{\dot {\theta }},I_{2}{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta ,I_{2}{\dot {\phi }}\cos \theta ]_{2}.$

La energía cinética puede calcularse así

$T={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}{\vec {L}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {1}{2}}\,\left((mR^{2}+I_{1}){\dot {\theta }}^{2}+I_{2}{\dot {\phi }}^{2}\right).$