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Enunciado

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$) equidistantes (distancia ${\displaystyle L}$) de la esquina (punto ${\displaystyle O}$). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a ${\displaystyle \omega }$, con las orientaciones y sentidos dados en la figura. Definido el triedro fijo ${\displaystyle OXYZ}$ (sólido "1") del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determina:

1. Los vectores ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{20}}$ y ${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{20}}$. Los vectores ${\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{O}}$ y ${\displaystyle {\vec {a}}_{20}^{O}}$.
2. El eje instantáneo de rotación.

"'Nota:"' Se recomienda usar el triedro "1" y su base vectorial para resolver el ejercicio.

Solución

Vectores ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{20}}$ y ${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{20}}$

En este problema se usa el sólido "1", en reposo absoluto, como sólido intermedio. Es decir, usaremos la composición

${\displaystyle \{20\}=\{21\}+\{10\}}$

Los datos cinemáticos proporcionados por el enunciado son, expresados en la base del sólido "1",

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{01}=-\omega \,{\vec {\jmath }}_{1}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {\imath }}_{1}}$

Podemos calcular las aceleraciones angulares derivando en el tiempo, pues los ejes de giro de cada ventilador son permanentes

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\qquad {\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}}$

La velocidad y aceleración angulares pedidas son

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}+{\vec {\omega }}_{10}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=\omega \,({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\\\\{\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {\alpha }}_{10}+{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {\omega }}_{21}={\vec {\alpha }}_{21}-{\vec {\alpha }}_{01}-{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{21}=-\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{1}\end{array}}}$

Vectores ${\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{O}}$ y ${\displaystyle {\vec {a}}_{20}^{O}}$

Vamos a determinar la velocidad y aceleración en cada uno de los movimientos de la composición.

Movimiento {01}

El punto ${\displaystyle A}$ es un punto fijo de la rotación {01}, pues está en el eje permanente de rotación. Entonces

${\displaystyle {\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{01}^{A}={\vec {0}}}$

A partir de aquí podemos calcular ${\displaystyle {\vec {v}}_{01}^{O}}$ y ${\displaystyle {\vec {a}}_{01}^{O}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\overrightarrow {AO}}=-L\,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {v}}_{01}^{A}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AO}}=-L\omega \,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {a}}_{01}^{A}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {AO}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AO}})=L\omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}}$

Movimiento {21}

El punto ${\displaystyle B}$ es un punto fijo de la rotación {21}, pues está en el eje permanente de rotación. Entonces

${\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {0}}}$

A partir de aquí podemos calcular ${\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{O}}$ y ${\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{O}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\overrightarrow {BO}}=-L\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{21}^{B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}}=-L\omega \,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {a}}_{21}^{O}={\vec {a}}_{21}^{B}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}})=L\omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}}$

Ahora podemos calcular los vectores pedidos. Veamos ${\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{O}}$ en primer lugar

${\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {v}}_{10}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}-{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}}$

Para la aceleración tenemos

${\displaystyle {\vec {a}}_{20}^{O}={\vec {a}}_{21}^{O}+{\vec {a}}_{10}^{O}+2{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {v}}_{21}^{O}}$

Aquí hay que tener cuidado, pues en general ${\displaystyle {\vec {a}}_{ij}\neq {\vec {a}}_{ji}}$, como hemos usado en los casos anteriores. Por ello, vamos a usar la descomposición {21}={20}+{01}

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\vec {a}}_{21}^{O}={\vec {a}}_{20}^{O}+{\vec {a}}_{01}^{O}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{O}\Rightarrow \\\\{\vec {a}}_{20}^{O}={\vec {a}}_{21}^{O}-{\vec {a}}_{01}^{O}-2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{O}=L\omega ^{2}(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\end{array}}}$

Eje instantáneo de rotación

Como ${\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {0}}}$, el punto ${\displaystyle O}$ esta en el eje. Entonces su ecuación paramétrica es

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {EIR} }^{20}\quad \equiv \quad {\overrightarrow {OI}}\,=\lambda \,{\vec {\omega }}_{20}=\lambda \omega ({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})}$