Diferencia entre las páginas «Archivo:F1 GIA tiovivo trayectoria suelo.png» y «Disco engarzado en otro disco (G.I.A.)»
Sin resumen de edición |
(Página creada con «== Enunciado == right En la figura se muestra un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), que gira con velocidad angular <math>\omega_{20}(t)=\omega</math>, constante, alrededor del eje perpendicular a él, <math>O_1X_0</math>. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante <math>\omega_{01}(t)=\Omega</math>, alrededor del eje vertical <math>O_1…») |
||
Línea 1: | Línea 1: | ||
== Enunciado == | |||
[[Imagen:F1_GIA_discos_engarzados_enunciado.png|right]] | |||
En la figura se muestra un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), que gira con velocidad angular <math>\omega_{20}(t)=\omega</math>, constante, alrededor del eje perpendicular a él, <math>O_1X_0</math>. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante <math>\omega_{01}(t)=\Omega</math>, alrededor del eje vertical <math>O_1Z_1</math> de un sistema de referencia fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas <math>\vec{v}^B_{21}</math> y <math>\vec{a}^B_{21}</math> en el instante representado en la figura. | |||
== Solución == | |||
El problema nos pide determinar el movimiento del punto <math>B</math>, | |||
perteneciente al sólido "2", en el | |||
instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento | |||
{21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al | |||
eje <math>O_1Z_1</math> y la rotación del sólido "2" respecto al eje <math>O_1X_0</math>: | |||
<center><math> | |||
\{21\} = \{20\}+ \{01\} | |||
</math></center> | |||
Analicemos en detalle estos dos movimientos | |||
===Movimiento {01} === | |||
La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad | |||
angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso | |||
podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder | |||
determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la | |||
aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos | |||
a determinar en este movimiento. | |||
En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor | |||
del eje <math>O_1Z_1</math>. El enunciado nos dice que la velocidad angular vale | |||
<math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega</math> y es constante en el tiempo. Tenemos entonces | |||
<center><math> | |||
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad | |||
\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} | |||
</math></center> | |||
Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes <math>O_1Z_0</math> y | |||
<math>O_1Z_1</math> son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos | |||
permite, por un lado, expresar <math>\vec{\omega}_{01}</math> en función de <math>\vec{k}_0</math> ó | |||
<math>\vec{k}_1</math>, y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que | |||
<math>\vec{k}_1</math> no cambia en el tiempo, con lo cual <math>\vec{\alpha}_{01}</math> es nula. | |||
Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en | |||
él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el | |||
origen <math>O_1</math>, podemos caracterizar completamente el movimiento {01} | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{lcl} | |||
\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ | |||
\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0} | |||
\\ &&\\ | |||
\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_0\equiv O_1Z_1 | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Como queremos determinar el movimiento del punto <math>B</math>, vamos a calcular | |||
<math>\vec{v}_{01}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{01}^{B}</math>. Utilizamos las ecuaciones del | |||
campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0" | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{v}_{01}^{B} = \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}= | |||
(\Omega\,\vec{k}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=\vec{0}\\ \\ | |||
\vec{a}_{01}^{B} = \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} + | |||
\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})=\vec{0} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Este resultado es razonable, pues el punto <math>B</math> pertenece al eje de | |||
giro del movimiento. | |||
===Movimiento {20} === | |||
En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al | |||
sólido "2". Hemos elegido el eje <math>O_1X_0</math> coincidiendo con este eje | |||
de giro. El enunciado dice que la velocidad angular <math>\omega_{20}</math> es | |||
constante en el tiempo, por tanto | |||
<center><math> | |||
\vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad | |||
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} | |||
</math></center> | |||
En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de | |||
<math>\vec{\omega}_{20}</math> en función de <math>\vec{\imath}_0</math> es válida en cualquier instante de | |||
tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo <math>\vec{\imath}_0</math> constante, con lo | |||
que <math>\vec{\alpha}_{20}</math> resulta ser nula. | |||
Como el eje de rotación es la recta <math>O_1X_0</math>, el punto <math>O_1</math> es de | |||
nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización | |||
del movimiento {20} es | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{lcl} | |||
\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\imath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ | |||
\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{20}^{O_1}=\vec{0} | |||
\\ &&\\ | |||
\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1X_0 | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Determinamos también los vectores <math>\vec{v}_{20}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{20}^{B}</math> | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{v}_{20}^{B} = \vec{v}_{20}^{O_1}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B}= | |||
(\omega\,\vec{\imath}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ | |||
\vec{a}_{20}^{B} = \vec{a}_{20}^{O_1}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{O_1B} + | |||
\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0 | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
En este movimiento, el punto <math>B</math> realiza un movimiento circular | |||
uniforme, con lo cual es razonable que <math>\vec{a}_{20}^{B}</math> apunte hacia | |||
el punto <math>O_1</math>. | |||
===Movimiento {21} === | |||
Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos | |||
{21}={20}+{01}. Tenemos | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0\\ \\ | |||
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = | |||
(\Omega\,\vec{k}_0)\times(\omega\,\vec{\imath}_0) = \omega\Omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ | |||
\vec{v}_{21}^{\,O_1} = \vec{v}_{20}^{\,O_1}+\vec{v}_{01}^{\,O_1}=\vec{0}\\ | |||
\\ | |||
\vec{a}_{21}^{\,O_1} = \vec{a}_{20}^{\,O_1}+\vec{a}_{01}^{\,O_1} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O_1}_{20}=\vec{0} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
El eje instantáneo de rotación es paralelo a <math>\vec{\omega}_{21}</math> y pasa por | |||
<math>O_1</math>, pues <math>\vec{v}^{\mathrm{min}}=\vec{v}_{21}^{O_1}</math>, pues ésta es | |||
cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{lcl} | |||
\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ | |||
\vec{\alpha}_{21}=\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0} | |||
\\ &&\\ | |||
\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv \lambda\, \vec{\omega}_{21} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con | |||
velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no | |||
nula. Esto se debe a que la dirección de <math>\Delta_{\mathrm{EIR}}</math> | |||
cambia con el tiempo. El vector <math>\vec{\alpha}_{21}</math> apunta en la dirección en | |||
que se produce este cambio. | |||
===Velocidad y aceleración del punto B === | |||
Ahora podemos calcular <math>\vec{v}_{21}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{21}^{B}</math>. Si usamos la | |||
composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y | |||
aceleraciones calculadas anteriormente | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{20}^B+\vec{v}_{01}^B = -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ | |||
\vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{20}^B+\vec{a}_{01}^B | |||
+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^B=-R\,\omega^2\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
[[Imagen:F1_GIA_discos_engarzados_final.png|right|400px]] | |||
También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del | |||
movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de | |||
este movimiento | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}= | |||
-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ | |||
\vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B} + | |||
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema. | |||
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]] |
Revisión actual - 15:44 25 sep 2023
Enunciado
En la figura se muestra un disco de radio (sólido "2"), que gira con velocidad angular , constante, alrededor del eje perpendicular a él, . Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante , alrededor del eje vertical de un sistema de referencia fijo (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas y en el instante representado en la figura.
Solución
El problema nos pide determinar el movimiento del punto , perteneciente al sólido "2", en el instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento {21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al eje y la rotación del sólido "2" respecto al eje :
Analicemos en detalle estos dos movimientos
Movimiento {01}
La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos a determinar en este movimiento.
En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor del eje . El enunciado nos dice que la velocidad angular vale y es constante en el tiempo. Tenemos entonces
Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes y son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos permite, por un lado, expresar en función de ó , y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que no cambia en el tiempo, con lo cual es nula. Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el origen , podemos caracterizar completamente el movimiento {01}
Como queremos determinar el movimiento del punto , vamos a calcular y . Utilizamos las ecuaciones del campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0"
Este resultado es razonable, pues el punto pertenece al eje de giro del movimiento.
Movimiento {20}
En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al sólido "2". Hemos elegido el eje coincidiendo con este eje de giro. El enunciado dice que la velocidad angular es constante en el tiempo, por tanto
En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de en función de es válida en cualquier instante de tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo constante, con lo que resulta ser nula.
Como el eje de rotación es la recta , el punto es de
nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización
del movimiento {20} es
Determinamos también los vectores y
En este movimiento, el punto realiza un movimiento circular uniforme, con lo cual es razonable que apunte hacia el punto .
Movimiento {21}
Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos {21}={20}+{01}. Tenemos
El eje instantáneo de rotación es paralelo a y pasa por , pues , pues ésta es cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es
Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no nula. Esto se debe a que la dirección de cambia con el tiempo. El vector apunta en la dirección en que se produce este cambio.
Velocidad y aceleración del punto B
Ahora podemos calcular y . Si usamos la composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y aceleraciones calculadas anteriormente
También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de este movimiento
En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema.
Historial del archivo
Haz clic sobre una fecha y hora para ver el archivo tal como apareció en ese momento.
Fecha y hora | Miniatura | Dimensiones | Usuario | Comentario | |
---|---|---|---|---|---|
actual | 15:43 25 sep 2023 | 220 × 237 (29 kB) | Pedro (discusión | contribs.) |
No puedes sobrescribir este archivo.
Usos del archivo
La siguiente página usa este archivo: