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| Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Enunciado== | | ==Enunciado== |
| Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias
| | La Tierra la podemos modelar como una esfera de 6370 km de radio. Determine la rapidez y la aceleración normal (expresada en unidades de ''g'') para un punto del ecuador terrestre debida al movimiento de rotación terrestre. ¿Cuánto valen la rapidez y aceleración normal en Sevilla (latitud 37°24′40″N)? |
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| <center><math>\vec{r}(t)=B\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}+2B\cos^2(\Omega t)\vec{k}</math></center>
| | ==En el ecuador== |
| | La rotación de la Tierra la podemos considerar uniforme siendo el periodo de revolución un día, es decir |
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| # ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
| | <center><math>T = 24\,\mathrm{h}=86400\,\mathrm{s}</math></center> |
| # Determine la ley horaria <math>s(t)</math>. Suponga que <math>s(0)=0</math>.
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| # ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
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| ==Trayectoria==
| | Esto no es realmente correcto, ya que el día solar mide la diferencia entre dos mediodías consecutivos y por tanto depende de la traslación de la Tierra. Respecto a un sistema fijo, el periodo correcto es el correspondiente a un día sideral, que es unos 4 minutos más corto (1/365 de día) y vale |
| ===Método 1: Ecuaciones implícitas===
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| La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones
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| implícitas
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| <center><math>f(x,y,z) = 0\qquad\qquad g(x,y,z)=0</math></center> | | <center><math>T= 23\,\mathrm{h}\,56\,\mathrm{min}\,4\,\mathrm{s}= 86164\,\mathrm{s}</math></center> |
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| que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento. | | La diferencia, no obstante, es menor que la precisión con la que trabajamos. |
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| Separando en componentes tenemos que
| | La velocidad angular correspondiente a este periodo es, en módulo, |
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| <center><math>x = B\cos^2(\Omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y=2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>z=2B\cos^2(\Omega t)\,</math></center> | | <center><math>\omega = \frac{2\pi}{T}=7.29\times 10^{-5}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center> |
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| De aquí es inmediato que
| | y la velocidad lineal en el Ecuador tiene por módulo |
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| <center><math>z= 2x\,</math>{{tose}} <math>2x -z = 0\,</math></center> | | <center><math>|\vec{v}|=\omega R_T= \left(7.29\times 10^{-5}\right)(6.37\times 10^6)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=464.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center> |
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| que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.
| | es decir, un punto del Ecuador se desplaza en la rotación terrestre a medio kilómetro por segundo. Este movimiento no se percibe porque lo que influye en los experimentos es la aceleración y esta vale |
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| Además, se verifica
| | <center><math>a_n=\omega^2 R = 0.034\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.0034g</math></center> |
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| <center><math>y + z= 2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)+ 2B\cos^2(\Omega t) = 2B</math></center>
| | es decir, el efecto es de un 0.3% de la aceleración de la gravedad. Este efecto, aunque pequeño, es apreciable y es una de las causas, junto con el achatamiento terrestre, que hace que la gravedad tenga un valor diferente en los polos y en el ecuador. |
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| con lo que la trayectoria está también contenida en el plano
| | ==En Sevilla== |
| | Cuando cambiamos de latitud, la velocidad angular no se ve afectada (puesto que la Tierra gira como un sólido) pero si la distancia al eje. Para un punto de latitud <math>\lambda</math> esta distancia es |
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| <center><math>y + z= 2B\,</math></center> | | <center><math>r = R_T\cos(\lambda)\,</math></center> |
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| Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la
| | lo cual nos da la velocidad |
| conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta
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| <center><math>r:\left\{\begin{matrix} 2x - z & = & 0 \\ y + z & = & 2B \end{matrix}\right.</math></center> | | <center><math>|\vec{v}|=\omega R_T= \left(7.29\times 10^{-5}\right)(6.37\times 10^6)\cos(37^\circ 24^\prime 40'')\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=369\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center> |
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| ===Método 2: Ecuaciones paramétricas===
| | y la aceleración |
| Una segunda manera de identificar que un movimiento es rectilíneo es mostrar que puede escribirse en la forma
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| <center><math>\vec{r}=\vec{G}+f(t)\vec{H}</math></center> | | <center><math>a_n=0.0269\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.0027g</math></center> |
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| siendo <math>\vec{G}</math> y <math>\vec{H}</math> dos vectores independientes del tiempo.
| | A la hora de estudiar el efecto de esta aceleración, el cálculo para Sevilla es más complicado que para el ecuador, ya que en un punto de latitud intermedia, la dirección de la gravedad (que va hacia el centro de la Tierra) y la aceleración normal (que va hacia el eje) no son coincidentes. |
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| En nuestro caso lo conseguimos observando que
| | [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]] |
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| <center><math>\mathrm{sen}^2(\Omega t) = 1-\cos^2(\Omega t)\,</math></center>
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| lo que nos permite expresar la ecuación horaria como
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| <center><math>\vec{r}(t)=B\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+2B\left(1-\cos^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}+2B\cos^2(\Omega t)\vec{k}=
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| 2B\vec{\jmath}+B\cos^2(\Omega t)\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)</math></center>
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| que tiene la forma indicada con
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| <center><math>\vec{G}=2B\vec{\jmath}\qquad \qquad\vec{H}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad f(t)=B\cos^2(\Omega t)</math></center>
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| ===Método 3: Vector tangente===
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| Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste tiene dirección constante.
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| Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad
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| <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+4B\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\jmath}-4B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}=2B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>
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| Aplicando la fórmula del ángulo doble, esta expresión se reduce a
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| <center><math>\vec{v}=B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>
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| La rapidez es el módulo de este vector
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| <center><math>|\vec{v}|=\left|B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right|\sqrt{1+4+4}= \left|3B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right|</math></center>
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| Hay que incluir el valor absoluto ya que el seno puede ser negativo.
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| Si dividimos la velocidad por la rapidez hallamos el vector tangente
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| <center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\pm \left(-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}\right)</math></center>
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| El doble signo inicial proviene del signo del seno, ya que
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| <center><math>\frac{\mathrm{sen}(2\Omega t)}{|\mathrm{sen}(2\Omega t)|}=\mathrm{sgn}(\mathrm{sen}(2\Omega t))=\pm 1</math></center>
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| Este vector puede cambiar de sentido, pero su dirección es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir de la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director
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| <center><math>\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = B\vec{\imath}+2B\vec{k}+s\left(-\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}\right)</math></center>
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| o, separando en componentes
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| <center><math>r:\left\{\begin{matrix} x & = & B - s/3 \\ y & = & 2s/2 \\ z & = & 2B -2s/3\end{matrix}\right.</math></center>
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| ==Ley horaria==
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| Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,
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| <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>
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| y hallamos su módulo, la celeridad,
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| <center><math>|\vec{v}| = 6B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center>
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| Esta cantidad es igual a la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo.
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| <center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=6B\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t) = 3B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)</math></center>
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| Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión
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| <center><math>s(t) = \int_0^t 3B\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\mathrm{d}t=\frac{3B}{2}\left(1-\cos(2\Omega t)\right)</math></center>
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| En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a <math>\dot{s}</math> para <math>0 < 2\Omega t < \pi</math>, en la cual el seno es positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de <math>t</math> considerando que el valor del parámetro arco <math>s</math> en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de <math>s</math>, pudiendo ser <math>\dot{s}</math>, la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.
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| ==Identificación del movimiento==
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| Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula es rectilíneo, pero dentro de los movimientos rectilíneos existen muchas posibilidades. Puede ser uniforme, uniformemente acelerado, armónico simple, o no pertenecer a ningún tipo conocido.
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| Lo que marca el tipo de movimiento es la aceleración (nula para el uniforme, constante para el uniformemente acelerado, etc.), por lo que procedemos a calcular ésta. Derivando la velocidad
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| <center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}= 2B\Omega^2\left(-\mathrm{sen}^2(\Omega t)+\cos^2(\Omega t)\right)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>
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| Esta aceleración no es constante, por lo que el movimiento no es ni uniforme ni uniformemente acelerado. Tampoco es evidente que se trate de un movimiento armónico simple, pero si observamos que
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| <center><math>\cos^2(\alpha)-\mathrm{sen}^2(\alpha) = 2\cos^2{\alpha}- 1 = 1 - 2\,\mathrm{sen}^2(\alpha)</math></center>
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| entonces podemos escribir la aceleración como
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| <center><math>\vec{a}=2B\Omega^2\left(\left(1-2\cos^2(\Omega t)\right)\vec{\imath}+\left(2-4\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{k}+\left(2-4\cos^2(\Omega t)\right)\vec{k}\right)</math></center>
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| Separando este vector en dos partes, equivale a
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| <center><math>\vec{a}= 2B\Omega^2\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)-4\Omega^2\vec{r}</math></center>
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| o, lo que es lo mismo
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| <center><math>\vec{a}=-4\Omega^2\left(\vec{r}-\vec{r}_\mathrm{eq}\right)</math></center>
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| donde
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| <center><math>\vec{r}_c = \frac{B}{2}\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)</math></center>
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| Al escribirlo de esta forma vemos que la partícula cumple la ecuación del oscilador armónico
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| <center><math>\vec{a}=-\omega^2(\vec{r}-\vec{r}_\mathrm{eq})</math></center>
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| siendo en este caso la frecuencia angular
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| <center><math>\omega = 2\Omega\,</math></center>
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| Al cumplir la ecuación del oscilador armónico y ser el movimiento rectilíneo, se trata de un movimiento armónico simple.
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| Alternativamente, podemos deducirlo de la propia ecuación horaria. Vectorialmente puede escribirse como
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| <center><math>\vec{r}(t) = \frac{B}{2}\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)+\cos(2\Omega t)\left(\frac{B}{2}\vec{\imath}-B\vec{\jmath}+B\vec{k}\right)=\vec{r}_\mathrm{eq}+\vec{A}\cos(2\Omega t)</math></center>
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| que nos permite identificar el centro del movimiento como
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| <center><math>\vec{r}_c = \frac{B}{2}\vec{\imath}+B\vec{\jmath}+B\vec{k}</math></center>
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| y la amplitud vectorial como
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| <center><math>\vec{A}=\frac{B}{2}\vec{\imath}-B\vec{\jmath}+B\vec{k}</math></center>
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| entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su
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| dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio.
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| [[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIOI)]]
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| [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIOI)]] | |
Enunciado
La Tierra la podemos modelar como una esfera de 6370 km de radio. Determine la rapidez y la aceleración normal (expresada en unidades de g) para un punto del ecuador terrestre debida al movimiento de rotación terrestre. ¿Cuánto valen la rapidez y aceleración normal en Sevilla (latitud 37°24′40″N)?
En el ecuador
La rotación de la Tierra la podemos considerar uniforme siendo el periodo de revolución un día, es decir
Esto no es realmente correcto, ya que el día solar mide la diferencia entre dos mediodías consecutivos y por tanto depende de la traslación de la Tierra. Respecto a un sistema fijo, el periodo correcto es el correspondiente a un día sideral, que es unos 4 minutos más corto (1/365 de día) y vale
La diferencia, no obstante, es menor que la precisión con la que trabajamos.
La velocidad angular correspondiente a este periodo es, en módulo,
y la velocidad lineal en el Ecuador tiene por módulo
es decir, un punto del Ecuador se desplaza en la rotación terrestre a medio kilómetro por segundo. Este movimiento no se percibe porque lo que influye en los experimentos es la aceleración y esta vale
es decir, el efecto es de un 0.3% de la aceleración de la gravedad. Este efecto, aunque pequeño, es apreciable y es una de las causas, junto con el achatamiento terrestre, que hace que la gravedad tenga un valor diferente en los polos y en el ecuador.
En Sevilla
Cuando cambiamos de latitud, la velocidad angular no se ve afectada (puesto que la Tierra gira como un sólido) pero si la distancia al eje. Para un punto de latitud 
esta distancia es
lo cual nos da la velocidad
y la aceleración
A la hora de estudiar el efecto de esta aceleración, el cálculo para Sevilla es más complicado que para el ecuador, ya que en un punto de latitud intermedia, la dirección de la gravedad (que va hacia el centro de la Tierra) y la aceleración normal (que va hacia el eje) no son coincidentes.
