(Página creada con «==Enunciado== Las especificaciones del Land Rover Discovery establecen que va de 0 a 100 km/h en 8.7s. ¿Cuánto vale su aceleración media en este periodo? ¿Cuánto vale el tiempo mínimo para atravesar un cruce de 15 m de anchura, si parte de estar parado en un semáforo? ¿Con qué velocidad llegará al otro lado? Un Seat León FR amarillo circula por la carretera a 160 km/h y pasa junto a un coche de la Guardia Civil parado en el arcén. Sab…»)
 
(Página creada con «==Enunciado== Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante <math>v_1</math>. Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando <math>g=9.8</math> m/s²: # Calcule el máximo valor de <math>v_1</…»)
 
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==Enunciado==
==Enunciado==
Las especificaciones del Land Rover Discovery establecen que va de 0 a 100&thinsp;km/h en 8.7s. ¿Cuánto vale su aceleración media en este periodo? ¿Cuánto vale el tiempo mínimo para atravesar un cruce de 15&thinsp;m de anchura, si parte de estar parado en un semáforo? ¿Con qué velocidad llegará al otro lado?
Desde un punto a una altura 1.4&thinsp;m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6&thinsp;m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0&thinsp;m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante <math>v_1</math>.


Un Seat León FR amarillo circula por la carretera a 160&thinsp;km/h y pasa junto a un coche de la Guardia Civil parado en el arcén. Sabiendo que la benemérita usa un Land Rover Discovery, ¿cuál es el mínimo tiempo que tarda en alcanzar al Seat León si este no reduce su velocidad? ¿A qué distancia del punto donde estaba parado lo alcanza? ¿Qué velocidad tiene el coche patrulla en el momento en que alcanza al infractor?
Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando <math>g=9.8</math>&thinsp;m/s&sup2;:


==Aceleración media==
# Calcule el máximo valor de <math>v_1</math> con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
La aceleración media la hallamos a partir del cociente entre el incremento de la velocidad y el tiempo empleado en este incremento
# Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
# Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?


<center><math>a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}-0\,\mathrm{km}/\mathrm{h}}{8.7\,\mathrm{s}}</math></center>
==Máximo valor de ''v''<sub>1</sub>==
Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.


Aquí el único problema es la mezcla de unidades. Pasamos la velocidad a m/s
La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,


<center><math>a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{100}{3.6\times 8.7}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=3.19\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>  
<center><math>z_B = h_1 + v_1 t = 3.0 + v_1 t\,</math></center>


Esto equivale a una aceleración de 0.33g, que es considerable, para un automóvil.
y la de la piedra


Para atravesar un cruce de 15&thinsp;m en máxima aceleración partiendo del reposo se requiere un tiempo
<center><math>z_P = h_2 + v_2t - \frac{1}{2}gt^2 = 1.4+7.0t-4.9t^2</math></center>


<center><math>\Delta x = \frac{1}{2}at^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \sqrt{\frac{2\Delta x}{a}}=3.1\,\mathrm{s}</math></center>
Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado


y la velocidad al llegar al otro lado del cruce es
<center><math>3.0 + v_1 t = 1.4+7.0t-4.9t^2 \qquad\Rightarrow\qquad 4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0</math></center>


<center><math>v = a t = \sqrt{2a\,\Delta x}=9.79\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=35.2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math></center>
Esta ecuación no es suficiente para determinar el máximo valor de <math>v_1</math>, ya que tenemos una ecuación y dos incógnitas.


==Alcance==
Veamos primero que existe una velocidad máxima. Si no hubiera pájar, la piedra llegaría hasta una altura de 3.9&thinsp;m (hallando el máximo de <math>z_P</math>), con lo cual, si el pájaro se quedara quieto (<math>v_1=0</math>), le alcanzaría seguro. Si el pájaro sale volando con velocidad <math>v_1=7</math> (la inicial de la piedra) seguro que no le alcanzaría nunca, pues la piedra se va frenando y el pájaro sube a velocidad constante. Por tanto, debe haber algún valor entre 0&thinsp;m/s y 7&thinsp;m/s que es el máximo con el que se le puede dar.
La forma más rápida que tiene el coche patrulla de alcanzar al infractor es marchando a máxima aceleración. Si levantan el pie del acelerador, la velocidad se incrementará más lentamente y por tanto tardará más en alcanzarlo.


Si admitimos que el Discovery es capaz de mantener la aceleración que hemos calculado antes durante un tiempo largo, el alcance se produce cuando la distancia recorrida por el Land Rover es la misma que la recorrida por el León, esto es
El detalle clave es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro.


<center><math>\frac{1}{2}at^2 = v_L t</math></center>
Gráficamente, corresponde a que, en la gráfica x(t), la recta que da el movimiento del pájaro sea tangente a la parábola de la piedra, con lo que la pendiente de la recta (<math>v_1</math>) debe coincidir con la pendiente de la parábola (<math>v_P(t)</math> en ese instante).


siendo
<center>[[Archivo:piedra-pajaro.png|400px]]</center>


<center><math>v_L = 160\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 44.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
Esto nos da la ecuación


esto nos da el tiempo de alcance
<center><math>v_1 = 7.0-9.8t\,</math></center>


<center><math>t_a = \frac{2v_L}{a} = 27.8\,\mathrm{s}</math></center>
que junto con la igualdad de las posiciones nos da el sistema


La distancia recorrida hasta el alcance vale
<center><math>\left\{\begin{array}{l}4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0\\
9.8t +(v_1-7.0)=0\end{array}\right. </math></center>


<center><math>\Delta x = \frac{1}{2}at_a^2 = v_L t_a = 1237\,\mathrm{m}</math></center>
Multiplicando la segunda por t y restándola de la primera llegamos al instante de impacto


Ahora bien, ¿cuál es la velocidad instantánea del Land Rover en este momento? La media es la misma, pues ha recorrido la misma distancia en el mismo tiempo, pero puesto que partía del reposo, la instantánea debe ser mayor. Concretamente
<center><math>-4.9t^2+1.6=0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{4}{7}=0.571\,\mathrm{s}</math></center>


<center><math>v_{GC} = a t_a = 88.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 320\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math></center>
y a la velocidad


lo cual es absurdo, pues se trata de un Land Rover, no de un Fórmula 1.
<center><math>v_1=1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>


Este problema no es realista en cuanto a que la aceleración no se puede mantener constante. A medida que se va más rápido, el coche debe cambiar a marchas más largas, en las que la aceleración es menor. En una situación real lo que ocurriría (habitualmente) es que el infractor reduciría y sería alcanzado más fácilmente, o que la Guardia Civil, marchando más lentamente, lo alcanzaría más tarde.
;Solución alternativa: Otra forma de llegar a este resultado, si no se ha llegado a la condición para la velocidad, es observar que la ecuación para la posición es una de segundo grado en t, con soluciones
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIOI)]]
 
<center><math>t = \frac{(7.0-v_1) \pm\sqrt{(7.0-v_1)^2 - 4\times 1.6\times 4.9}}{2\times 4.9}=\frac{(7.0-v_1)\pm\sqrt{(7.0-v_1)^2-31.36}}{9.8}</math></center>
 
Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.  
 
El máximo valor posible de <math>v_1</math> será entonces el que anule esta cantidad
 
<center><math>(7.0-v_1)^2 - 31.36 = 0\qquad\Rightarrow\qquad 7.0-v_1 = 5.6 \qquad\Rightarrow\qquad v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 
Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es
 
<center><math>t =  \frac{7.0-1,4}{9.8}\mathrm{s} = \frac{5.6}{9.8}\mathrm{s} = \frac{4}{7}\mathrm{s} = 0.571\,\mathrm{s}</math></center>
 
==Velocidades medias==
===Del pájaro===
Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea
 
<center><math>v_{m1} = v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 
===De la piedra===
Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en
 
<center><math>z_2 = 1.4 + 7.0\frac{4}{7}-4.9\left(\frac{4}{7}\right)^2 = 3.8\,\mathrm{m}</math></center>
 
lo que da una velocidad media
 
<center><math>v_{m2}=\frac{\Delta z_2}{\Delta t} = \frac{3.8-1.4}{4/7} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 
;Solución alternativa: Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas
 
<center><math>v_{m2}=\frac{7.0+1.4}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} =  4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 
:donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.
==Movimiento de la piedra==
Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es
 
<center><math>z = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\,</math></center>
 
que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula
 
<center><math>0 = v_z = \dot{z}= 7.0-9.8 t\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5}{7}\,\mathrm{s} = 0.714\,\mathrm{s}</math></center>
 
y en ese instante su altura es
 
<center><math>z_{2\mathrm{max}} = 1.4 + 7.0\frac{5}{7}-4.9\left(\frac{5}{7}\right)^2 = 3.9\,\mathrm{m}</math></center>
 
;Solución alternativa: esto se puede resolver observando que
 
<center><math>-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad z = z_0+\frac{v_{20}^2}{2g}</math></center>
 
La partícula impacta en el suelo cuando <math>z=0</math>. Esto ocurre en el instante
 
<center><math>0 = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5 + \sqrt{39}}{7} = 1.606\,\mathrm{s}</math></center>
 
y la velocidad en ese momento es
 
<center><math>v_{2i} = 7(5-\sqrt{39})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = -8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 
;Solución alternativa:  puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación
 
<center><math>-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad v_i = -\sqrt{v_{20}^2+2gz_0}=-\sqrt{7.0^2+2\times 9.8\times 1.4}=-8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 
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Revisión actual - 16:30 21 sep 2023

Enunciado

Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante .

Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando  m/s²:

  1. Calcule el máximo valor de con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
  2. Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
  3. Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?

Máximo valor de v1

Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.

La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,

y la de la piedra

Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado

Esta ecuación no es suficiente para determinar el máximo valor de , ya que tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Veamos primero que existe una velocidad máxima. Si no hubiera pájar, la piedra llegaría hasta una altura de 3.9 m (hallando el máximo de ), con lo cual, si el pájaro se quedara quieto (), le alcanzaría seguro. Si el pájaro sale volando con velocidad (la inicial de la piedra) seguro que no le alcanzaría nunca, pues la piedra se va frenando y el pájaro sube a velocidad constante. Por tanto, debe haber algún valor entre 0 m/s y 7 m/s que es el máximo con el que se le puede dar.

El detalle clave es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro.

Gráficamente, corresponde a que, en la gráfica x(t), la recta que da el movimiento del pájaro sea tangente a la parábola de la piedra, con lo que la pendiente de la recta () debe coincidir con la pendiente de la parábola ( en ese instante).

Esto nos da la ecuación

que junto con la igualdad de las posiciones nos da el sistema

Multiplicando la segunda por t y restándola de la primera llegamos al instante de impacto

y a la velocidad

Solución alternativa
Otra forma de llegar a este resultado, si no se ha llegado a la condición para la velocidad, es observar que la ecuación para la posición es una de segundo grado en t, con soluciones

Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.

El máximo valor posible de será entonces el que anule esta cantidad

Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es

Velocidades medias

Del pájaro

Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea

De la piedra

Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en

lo que da una velocidad media

Solución alternativa
Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas
donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.

Movimiento de la piedra

Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es

que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula

y en ese instante su altura es

Solución alternativa
esto se puede resolver observando que

La partícula impacta en el suelo cuando . Esto ocurre en el instante

y la velocidad en ese momento es

Solución alternativa
puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación