Posición dependiente del tiempo (GIOI)

Enunciado

Las especificaciones del Land Rover Discovery establecen que va de 0 a 100 km/h en 8.7s. ¿Cuánto vale su aceleración media en este periodo? ¿Cuánto vale el tiempo mínimo para atravesar un cruce de 15 m de anchura, si parte de estar parado en un semáforo? ¿Con qué velocidad llegará al otro lado?

Un Seat León FR amarillo circula por la carretera a 160 km/h y pasa junto a un coche de la Guardia Civil parado en el arcén. Sabiendo que la benemérita usa un Land Rover Discovery, ¿cuál es el mínimo tiempo que tarda en alcanzar al Seat León si este no reduce su velocidad? ¿A qué distancia del punto donde estaba parado lo alcanza? ¿Qué velocidad tiene el coche patrulla en el momento en que alcanza al infractor?

Aceleración media

La aceleración media la hallamos a partir del cociente entre el incremento de la velocidad y el tiempo empleado en este incremento

$a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {100\,\mathrm {km} /\mathrm {h} -0\,\mathrm {km} /\mathrm {h} }{8.7\,\mathrm {s} }}$

Aquí el único problema es la mezcla de unidades. Pasamos la velocidad a m/s

$a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {100}{3.6\times 8.7}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=3.19\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Esto equivale a una aceleración de 0.33g, que es considerable, para un automóvil.

Para atravesar un cruce de 15 m en máxima aceleración partiendo del reposo se requiere un tiempo

$\Delta x={\frac {1}{2}}at^{2}\qquad \Rightarrow \qquad t={\sqrt {\frac {2\Delta x}{a}}}=3.1\,\mathrm {s}$

y la velocidad al llegar al otro lado del cruce es

$v=at={\sqrt {2a\,\Delta x}}=9.79\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=35.2\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}$

Alcance

La forma más rápida que tiene el coche patrulla de alcanzar al infractor es marchando a máxima aceleración. Si levantan el pie del acelerador, la velocidad se incrementará más lentamente y por tanto tardará más en alcanzarlo.

Si admitimos que el Discovery es capaz de mantener la aceleración que hemos calculado antes durante un tiempo largo, el alcance se produce cuando la distancia recorrida por el Land Rover es la misma que la recorrida por el León, esto es

${\frac {1}{2}}at^{2}=v_{L}t$

siendo

$v_{L}=160\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}=44.4\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

esto nos da el tiempo de alcance

$t_{a}={\frac {2v_{L}}{a}}=27.8\,\mathrm {s}$

La distancia recorrida hasta el alcance vale

$\Delta x={\frac {1}{2}}at_{a}^{2}=v_{L}t_{a}=1237\,\mathrm {m}$

Ahora bien, ¿cuál es la velocidad instantánea del Land Rover en este momento? La media es la misma, pues ha recorrido la misma distancia en el mismo tiempo, pero puesto que partía del reposo, la instantánea debe ser mayor. Concretamente

$v_{GC}=at_{a}=88.9\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=320\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}$

lo cual es absurdo, pues se trata de un Land Rover, no de un Fórmula 1.

Este problema no es realista en cuanto a que la aceleración no se puede mantener constante. A medida que se va más rápido, el coche debe cambiar a marchas más largas, en las que la aceleración es menor. En una situación real lo que ocurriría (habitualmente) es que el infractor reduciría y sería alcanzado más fácilmente, o que la Guardia Civil, marchando más lentamente, lo alcanzaría más tarde.