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== Enunciado ==
Ya a la venta:
Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el  teorema del coseno para triángulos planos.


== Solución ==
[[Archivo:portada.jpg|266px]]
[[Imagen:F1_GIA_p02_01_triangulo.png|right|300px]]
Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
con los senos de los vértices opuestos:
<center><math>
  \frac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}} = \frac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}} = \frac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}
</math></center>
El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud
de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
<center><math>
  \begin{array}{l}
    a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\hat{A}}\\ \\
  b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\hat{B}}\\ \\
  c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\hat{C}}
  \end{array}
</math></center>


===Teorema del coseno===
''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.
Consideramos los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{BC}</math>. Se
tiene
<center><math>
  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
</math></center>
La longitud del lado es <math>a=|\overrightarrow{BC}|</math>, por tanto
<center><math>
  \begin{array}{ll}
  a^2& = |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2 =
  |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 -2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
  &= b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\hat{A}}
  \end{array}
</math></center>
pues el ángulo entre <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{AB}</math> es precisamente el del
vértice <math>A</math>.
Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.


===Teorema del seno===
==Programa==
Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de <math>\overrightarrow{BC}</math> por si mismo. Tenemos
# Introducción
<center><math>
## [[Metrología (G.I.T.I.)|Metrología]]
  \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}=\overrightarrow{BC}\times(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
###[[Problemas de metrología]]
  \Longrightarrow
# Punto material
  \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIE)|Movimiento rectilíneo]]
</math></center>
###[[Problemas_de_movimiento_rectilíneo_(GIC) | Problemas de movimiento rectilíneo]]
Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
## [[Vectores libres|Vectores libres]]
<center>
###[[Problemas de vectores libres (GIC) | Problemas de vectores libres]]
<math>
## [[Cinemática_tridimensional_de_la_partícula_(GIE)| Movimiento en dos y tres dimensiones]]
\begin{array}{lll}
###[[Problemas de Cinemática del punto (G.I.C.)|Problemas de Cinemática del punto ]]
    &|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|& \\
# [[Dinámica de la partícula (GIE)|Dinámica de la partícula]]
    &|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AC}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
##[[Problemas_de_Dinámica_del_punto_(GIC)|Problemas de Dinámica de la partícula]]
    &a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
#[[Energía_y_leyes_de_conservación_(GIE)| Cinética de la partícula ]]
    & b \,\mathrm{sen}\,{C} = c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
## [[Problemas de cinética de la partícula | Problemas de Cinética de la partícula]]
    &\frac{\displaystyle b}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}}}
#[[Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)|Cinemática del sólido rígido]]
\end{array}
##{{ac|Problemas de Cinemática del sólido rígido (MR G.I.C.)}}
</math>
#[[Movimiento relativo (G.I.T.I.)|Movimiento relativo]]
</center>
##[[Problemas de movimiento relativo y movimiento plano  F1-GIERM| Problemas de movimiento relativo y movimiento plano]]
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
##{{ac|Problemas de Movimiento relativo}}
#[[Movimiento plano (G.I.T.I.)|Movimiento plano]]
##{{ac|Problemas de Movimiento plano (MR G.I.C.)}}
# [[Dinámica de un sistema de partículas|Dinámica del Sólido Rígido]]
##[[Problemas de dinámica de un sistema de partículas F1-GIC| Problemas de Dinámica del Sólido Rígido]]
# [[Movimiento oscilatorio]]
##{{ac| Problemas de Movimiento oscilatorio (GIC)}}
# [[Movimiento_ondulatorio |Ondas]]
##{{ac| Problemas de Movimiento ondulatorio (GIC)  }}


Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
# Material didáctico auxiliar
igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
## [[Tabla de fórmulas de trigonometría]]
<center><math>
## [[Tabla de fórmulas de variable compleja]]
    |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|
## [[Tabla de derivadas y primitivas]]
</math></center>
## [[Vectores en física. Definiciones y operaciones]]
## [[Vectores en física. Coordenadas y componentes]]
## [[Problemas_de_herramientas_matemáticas_(GIE)|Problemas]]


[[Categoría:Vectores libres|0]]
 
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
# [[Exámanes (G.I.E.R.M.) | Exámenes]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
##[[Exámenes 2017/18 (G.I.E.R.M.)| Curso 2017/18]]
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]
##[[Exámenes 2018/19 (G.I.E.R.M.)| Curso 2018/19]]
##[[Exámenes 2019/20 (G.I.E.R.M.)| Curso 2019/20]]
##[[Exámenes 2020/21 (G.I.E.R.M.)| Curso 2020/21]]
 
<!--
# Diapositivas y boletines de problemas
## Tema 0
###Diapositivas:[[File:GIERM_Tema00.pdf]]
## Tema 1
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema01.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol01.pdf‎]]
## Tema 2
### Diapositivas[[File:GIERM_Tema02.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol02.pdf‎]]
## Tema 3
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_03.pdf]]
### Problemas:[[File:GIERM_Bol_03.pdf]]
## Tema 4
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_04.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_04.pdf]]
## Tema 5
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_05.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_05.pdf]]
## Tema 6
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_06_1819.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_06_1819.pdf]]
## Tema 7
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_07_1819.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_07_1819.pdf]]
## Tema 8
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_08_1819.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_08_1819.pdf]]
## Tema 9
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_09_1819.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_09_1819.pdf]]
## Tema 10
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_10_1819.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_10_1819.pdf]]
## Tema 11
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_11_1718.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_11_1718.pdf]]
## Tema 12
### Diapositivas:[[File:GIERM_Tema_12_1718.pdf]]
### Problemas: [[File:GIERM_Bol_12_1718.pdf]]
-->

Revisión del 11:49 26 sep 2023

Ya a la venta:

Física general: Mecánica, de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

Programa

  1. Introducción
    1. Metrología
      1. Problemas de metrología
  2. Punto material
    1. Movimiento rectilíneo
      1. Problemas de movimiento rectilíneo
    2. Vectores libres
      1. Problemas de vectores libres
    3. Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Problemas de Cinemática del punto
  3. Dinámica de la partícula
    1. Problemas de Dinámica de la partícula
  4. Cinética de la partícula
    1. Problemas de Cinética de la partícula
  5. Cinemática del sólido rígido
  6. Movimiento relativo
    1. Problemas de movimiento relativo y movimiento plano
  7. Movimiento plano
  8. Dinámica del Sólido Rígido
    1. Problemas de Dinámica del Sólido Rígido
  9. Movimiento oscilatorio
  10. Ondas
  1. Material didáctico auxiliar
    1. Tabla de fórmulas de trigonometría
    2. Tabla de fórmulas de variable compleja
    3. Tabla de derivadas y primitivas
    4. Vectores en física. Definiciones y operaciones
    5. Vectores en física. Coordenadas y componentes
    6. Problemas


  1. Exámenes
    1. Curso 2017/18
    2. Curso 2018/19
    3. Curso 2019/20
    4. Curso 2020/21


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