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Propiedades de un tetraedro (GIOI)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 24: Línea 24:
El volumen lo calculamos a partir del producto mixto
El volumen lo calculamos a partir del producto mixto
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<center><math>\frac{1}{6}(\overrightarrow{OA}\times(\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left|\begin{matrix}\vec{b&b&0\\b&0&b\\0&b&b\end{matrix}\right|=-\frac{2b^3}{6}=-\frac{b^3}{3}</math></center>
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<center><math>\frac{1}{6}(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left|\begin{matrix}\vec{b&b&0\\b&0&b\\0&b&b\end{matrix}\right|=-\frac{2b^3}{6}=-\frac{b^3}{3}</math></center>
El signo negativo procede del orden en que se han puesto los vectores. Evidentemente el volumen como tal es el valor absoluto
El signo negativo procede del orden en que se han puesto los vectores. Evidentemente el volumen como tal es el valor absoluto
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<center><math>V=\left|\frac{-b^3}{3}\right|)=\frac{b^3}{3}</math></center>
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<center><math>V=\left|\frac{-b^3}{3}\right|=\frac{b^3}{3}</math></center>
Así pues, el tetraedro tiene por volumen un tercio del del cubo que lo contiene.
Así pues, el tetraedro tiene por volumen un tercio del del cubo que lo contiene.

Revisión de 13:52 30 sep 2022

1 Enunciado

Sea el tetraedro regular inscrito en un cubo de arista b, que tiene por vértices 4 de los del cubo.

  1. ¿Cuánto vale la superficie lateral del tetraedro?
  2. ¿Cuánto vale su volumen? (el volumen de un tetraedro es 1/6 del volumen del paralelepípedo definido por tres de sus lados no coplanarios)

2 Superficie lateral

Tomando como origen uno de los vértices del tetraedro y como ejes las aristas del cubo que pasan por él, los cuatro vértices son

\overrightarrow{OO}=\vec{0}\qquad\qquad \overrightarrow{OA}=b\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=b\left(\vec{\imath}+\vec{k}\right)\qquad\qquad\overrightarrow{OC}=b\left(\vec{\jmath}+\vec{k}\right)

Al tratarse de un tetraedro regular, la superficie lateral es 4 veces la de una de las caras triangulares. Cada una de estas vale

S_1=\frac{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}{2}

siendo

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\b&b&0\\b&0&b\end{matrix}\right|=b^2\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\right)

lo que nos da

S_1=\frac{\sqrt{3}b^2}{2}\qquad\qquad S=4S_1=2\sqrt{3}b^2

3 Volumen

El volumen lo calculamos a partir del producto mixto

No se pudo entender (error de sintaxis): \frac{1}{6}(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left|\begin{matrix}\vec{b&b&0\\b&0&b\\0&b&b\end{matrix}\right|=-\frac{2b^3}{6}=-\frac{b^3}{3}

El signo negativo procede del orden en que se han puesto los vectores. Evidentemente el volumen como tal es el valor absoluto

V=\left|\frac{-b^3}{3}\right|=\frac{b^3}{3}

Así pues, el tetraedro tiene por volumen un tercio del del cubo que lo contiene.

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