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Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Cargas en un triángulo equilátero)
(Campo de un anillo no homogéneo)
Línea 48: Línea 48:
==Campo de un anillo no homogéneo==
==Campo de un anillo no homogéneo==
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{{nivel|3}} Un anillo de radio R se encuentra cargado con una densidad lineal de carga <math>\lambda=\lambda_0  \cos^2⁡(\theta'/2)</math>. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).
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{{nivel|4}} Un anillo de radio R se encuentra cargado con una densidad lineal de carga <math>\lambda=\lambda_0  \cos^2⁡(\theta'/2)</math>. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).
# ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
# ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
# ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
# ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?

Revisión de 20:22 13 feb 2020

Contenido

1 Carga total de una distribución

Calcule la carga total de las siguientes distribuciones de carga:

  1. N cargas de valor q situadas en los vértices de un polígono regular de N lados situado en el plano XY, con centro el origen y cuyo primer vértice se encuentra en \vec{r}_1=a\vec{\imath}.
  2. Un anillo circular de radio R con una densidad lineal de carga uniforme λ0.
  3. Un anillo circular de radio R con centro el origen y situado en el plano XY, con una densidad lineal de carga λ(θ) = λ0cos(θ), siendo θ el ángulo del vector de posición con el eje OX.
  4. Una superficie esférica de radio a con una densidad de carga uniforme σ0, rodeada por una superficie esférica concéntrica de radio b con densidad de carga − σ0.
  5. Una esfera maciza de radio R con densidad de carga uniforme ρ0.
  6. Una esfera maciza de radio 2R con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como ρ(r) = A(Rr) (r < 2R).

Solución

2 Cargas en un triángulo equilátero

Tres cargas puntuales iguales +q se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de lado b. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de ellas. Suponga que se cambia una de las cargas +q por una carga –q. ¿Cuánto vale en ese caso la fuerza sobre cada una de las tres cargas? Si se cambia una segunda carga +q por otra carga –q, ¿cuánto pasa a ser la fuerza sobre cada una? Por último, si se sustituye la última carga +q por otra –q, ¿cuál es ahora la fuerza?

Solución

3 Fuerzas y momentos sobre un par de cargas

Dos cargas q1 = + q y q2 = − q se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico

\vec{E}=Ay\vec{\imath}+Bx^2 \vec{\jmath}
  • Si los extremos de la varilla se encuentran en \vec{r}_1=b\vec{\imath} y \vec{r}_2=-b\vec{\imath}, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
  • Si los extremos de la varilla se encuentran en \vec{r}_1=b\vec{\jmath} y \vec{r}_2=-b\vec{\jmath}, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

Solución

4 Campo de dos cargas puntuales

Se tienen dos cargas q1 y q2 situadas respectivamente en los puntos \vec{r}_1=-12\vec{\imath}  (cm) y \vec{r}_2=+12\vec{\imath}  (cm). Halle el campo eléctrico en los puntos \vec{r}_A=\vec{0}, \vec{r}_B=28\vec{\imath}, \vec{r}_C=9\vec{\jmath}, \vec{r}_D=-9\vec{k}, \vec{r}_E=12\vec{\imath}+32\vec{\jmath}

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

  1. q_1=q_2=+1\,\mathrm{nC}
  2. q_1=+1\,nC, q_2=-1\,nC
  3. q_1=+1\,nC,q_2=+9\,nC
  4. q_1=+1\,nC,q_2=-9\,nC

Solución

5 Anulación de campo eléctrico

Para los cuatro pares de cargas del problema anterior, localice el punto del eje OX en que se anula el campo eléctrico. Solución

6 Cargas en los vértices de un cuadrado

Se tienen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm, según ilustra la figura. Los valores de todas las cargas son +10 nC o −10 nC

  1. ¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre una carga de 10 nC situada en el centro del cuadrado?
  2. ¿Cuánto vale aproximadamente el trabajo para llevar la carga central hasta el infinito?
  3. Suponiendo que no está la carga central, ¿cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
  4. ¿Qué trabajo hay que realizar para permutar una carga positiva por una negativa vecina?

Solución

7 Campo de un anillo no homogéneo

Un anillo de radio R se encuentra cargado con una densidad lineal de carga λ = λ0cos2(θ' / 2). El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).

  1. ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
  2. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
  3. ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?

Solución

8 Campo de un anillo homogéneo

Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio R que almacena una carga Q distribuida uniformemente. Solución

9 Campo de un disco homogéneo

A partir del resultado del problema anterior calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio R, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente. Solución

10 Campo de un plano infinito

Empleando el resultado del disco del problema anterior, halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debido a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad de carga σ0. Solución

11 Campo de dos planos paralelos

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia b que almacenan respectivamente densidades de carga + σ0 y − σ0. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Solución

12 Campo de dos discos paralelos

Se tienen dos discos de radio 1cm y con cargas respectivas de ±12 nC situados paralelamente al plano OXY, con sus centros en (±b/2) \vec{k}. Halle el valor aproximado del campo eléctrico en el origen de coordenadas si:

  1. b = 1m.
  2. b=1\,\mathrm{mm}.
  3. b tiene un valor arbitrario. Estime el error cometido en los dos apartados anteriores.

Solución

13 Campo de un segmento

Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud 2a cargado uniformemente con una densidad de carga λ0 en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio. Solución

14 Campo de un hilo infinito

A partir del resultado anterior, halle el campo eléctrico creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo cargado con una densidad homogénea λ0.

Este campo puede también hallarse mediante la ley de Gauss. ¿Cómo se llega en ese caso al resultado? Solución

15 Campo de dos hilos paralelos

Una línea de alta tensión puede modelarse como dos hilos paralelos, infinitamente largos, cargados con densidades \pm\lambda_0. Si situamos los ejes de forma que los hilos son paralelos al eje OZ y pasan por los puntos ±b\vec{\imath},

  1. Halle la fuerza que cada hilo produce sobre un segmento de longitud L del otro.
  2. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

16 Flujo del campo eléctrico de un cubo

Un cubo de arista b contiene una carga Q0 distribuida uniformemente en su volumen. No hay más cargas en el sistema. Sea S una superficie esférica de radio b centrada en uno de los vértices del cubo. ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico a través de S? Solución

17 Campo de distribuciones esféricas

Con ayuda de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio para las siguientes distribuciones con simetría esférica:

  1. Una superficie esférica de radio a que almacena una carga Q distribuida uniformemente.
  2. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) que almacenan respectivamente cargas +Q y -Q, distribuidas uniformemente.
  3. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) cargadas respectivamente con densidades superficiales uniformes + σ0 y − σ0.
  4. Una esfera maciza de radio R que almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
  5. Una esfera maciza de radio 2R con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como ρ(r) = A(Rr) (r < 2R).

Solución

18 Campo de dos superficies esféricas

Se tiene un sistema de cargas formado por dos superficies esféricas de radio b=4\,\mathrm{cm} cuyos centros distan a=3\,\mathrm{cm}, como indica la figura. Las superficies está cargadas uniformemente con cargas respectivas de +1 nC y -1 nC. Para los puntos marcados en la figura (en cm) \vec{r}_A=-2\vec{\imath}, \vec{r}_B=\vec{\imath}-\vec{\jmath}, \vec{r}_C=4\vec{\imath}+3\vec{\jmath}, \vec{r}_D=8\vec{\imath}

  1. Calcule el campo eléctrico.
  2. Calcule el potencial eléctrico.
  3. Halle el trabajo que debe realizar un agente externo para mover cuasiestáticamente una carga de -1 nC desde el punto A al punto D moviéndola a lo largo del eje X.
    1. A partir de la diferencia de potencial.
    2. A partir de la integración de la fuerza

Solución

19 Campo de una esfera con hueco

Se tiene una carga Q=14\,\mathrm{nC} distribuida uniformemente en una esfera maciza de radio 10.0 cm en la que se ha horadado una cavidad esférica de radio 5.0 cm cuyo centro está a 5.0 cm de la esfera grande.

  1. Demuestre que el campo en el interior de la cavidad es uniforme y halle su valor.
  2. Calcule el valor del campo en el exterior de la esfera en un punto situado sobre la recta que une los dos centros, a una distancia de 25 cm del centro de la esfera grande

Solución

20 Potencial de dos cargas puntuales

Halle el potencial eléctrico en los puntos indicados en el problema 1.4, para los pares de cargas descritos en el mismo problema. Solución

21 Trabajo para cargas en un triángulo

Calcule el trabajo necesario para realizar cada una de las sustituciones descritas en el problema 1.2. Solución

22 Diferencia de potencial entre dos planos paralelos

Para el sistema de los dos planos del problema 1.11, calcule la diferencia de potencial entre el plano cargado positivamente y el cargado negativamente. Solución

23 Potencial debido a una superficie esférica

Halle el potencial en todos los puntos del espacio creado por una carga Q distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de radio R. Solución

24 Potencial de sistemas esféricos

Calcule el potencial eléctrico en el origen de coordenadas para todos los sistemas del problema 1.17. Solución

25 Potencial debido a un anillo cargado

Halle el potencial eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio 1.00 cm sobre el cual hay distribuida una carga de 10.0 nC, como función de la distancia z al plano del anillo.

¿Qué trabajo es necesario realizar para llevar una carga de 2 nC desde el infinito hasta el centro de este anillo?

Supongamos que en lugar de una carga positiva tenemos una de -2 nC que solo puede moverse a lo largo del eje del anillo y que se suelta en reposo a una distancia z=1.0\,\mathrm{mm} del centro del anillo, ¿qué tipo de movimiento describe esta carga? Solución

26 Potencial de esfera con hueco

Para la esfera horadada del problema 1.19, calcule la diferencia de potencial entre los dos puntos diametralmente opuestos de la superficie exterior situados en la recta que pasa por los dos centros. Solución

27 Energía de un tetraedro

En los cuatro vértices de un tetraedro regular de arista b tenemos sendas cargas que pueden valer cada una + q o q. ¿Qué valores puede tener la energía electrostática de este sistema? Si la probabilidad de que una carga de un vértice sea positiva o negativa es del 50%, ¿cuál es el valor esperado de la energía? Solución

28 Energía de un sistema de cuatro cargas

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

  1. q_1=q_2=q_3=q_4=+14\,\mathrm{nC}.
  2. q_1=q_2=q_3=q_4=-14\,\mathrm{nC}.
  3. q_1=q_3=+14\,\mathrm{nC}, q_2=q_4=-14\,\mathrm{nC}.
  4. q_1=q_2=+14\,\mathrm{nC}, q_3=q_4=-14\,\mathrm{nC}.
  5. q_1=q_4=+14\,\mathrm{nC}, q_2=q_3=-14\,\mathrm{nC}.

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo \vec{r}_1  = \vec{0}, \vec{r}_2  = 7\vec{\imath}  cm, \vec{r}_3  = (7\vec{\imath}+24\vec{\jmath} ) cm, \vec{r}_2  =24\vec{\jmath} cm Solución

29 Energía de superficies esféricas

Calcule la energía electrostática almacenada en las siguientes distribuciones de carga:

  1. Una superficie esférica de radio a sobre la cual hay distribuida uniformemente una carga Q.
  2. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas uniformemente cargas +Q y -Q respectivamente.
  3. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas cargas con densidades + σ0 y − σ0 respectivamente.
  4. Tres superficies esféricas concéntricas de radios 2b, 3b y 6b, que almacenan, respectivamente, cargas Q1, Q2 y Q3. ¿A qué se reduce el resultado si Q1 = Q3 = Q0, Q2 = − Q0?

Solución

30 Campo eléctrico radial

En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas \vec{E}=E(r) \vec{u}_r, dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es E0.

  1. ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo?
  2. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
  3. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Solución

31 Campo eléctrico central

El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión

\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}(E_0 (r/b)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ E_0 (b/r)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.
  1. ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
  2. ¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)?
  3. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
  4. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Solución

32 Campo de tres superficies esféricas

Suponga un sistema formado por tres superficies esféricas cargadas uniformemente. Una de ellas posee una carga + Q y radio 4b, estando centrada en -2b\vec{\imath}+2b\vec{\jmath}. La segunda posee también carga + Q y radio b, estando centrada en +6b\vec{\imath}. La tercera envuelve a las otras dos, almacena una carga − 2Q, posee radio 8b y está centrada en el origen de coordenadas.

  1. Determine el valor del campo eléctrico en los puntos del plano OXY: O(0,0), A(6b,2b), B( − 2b, − 6b), C(6b,8b) y D(2b,b)
  2. Halle el valor del potencial eléctrico en los mismos puntos, tomando como origen de potencial el infinito.
  3. Calcule el trabajo necesario para mover una carga puntual q desde el punto A al punto B siguiendo el camino rectilíneo indicado en la figura.
  4. En puntos exteriores muy alejados el sistema se ve como un dipolo. ¿Cuánto vale el momento dipolar de esta distribución de cargas?

Solución

33 Campo y potencial de dos planos ortogonales

sistema de cargas está formado por dos planos cargados, ambos con la misma densidad de carga + σ0, situados ortogonalmente. Uno de ellos coincide con el plano OXZ y el otro con el OYZ.

  1. Halle el campo eléctrico en los puntos A(4b,3b,0), B( − 4b,3b,0), C( − 3b, − 4b,0) y D(2b, − 5b,0). Puede usarse, si se conoce, la expresión del campo creado por un solo plano.
  2. Indique gráficamente cómo son las líneas de campo en cada uno de los cuatro cuadrantes.
  3. Indique gráficamente cómo son las superficies equipotenciales en este sistema
  4. Calcule el trabajo necesario para mover una carga q_0 desde A hasta B; para mover la misma carga desde A a C, y para moverla desde A a D.
  5. Suponga que se sitúa una carga q0 en el punto A y otra + q0 en la posición simétrica B ¿Cuánto vale la fuerza eléctrica sobre cada una de estas dos cargas?

Solución

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