No Boletín - Calcular el ángulo entre dos vectores

Enunciado

Halle el ángulo que forman los vectores

${\vec {A}}=24{\vec {\imath }}-32{\vec {k}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\vec {B}}=16{\vec {\jmath }}+12{\vec {k}}$

Solución

Obtenemos el ángulo a partir del producto escalar de los dos vectores

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cos(\alpha )\qquad \Rightarrow \qquad \alpha =\arccos \left({\frac {{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}}{|{\vec {A}}||{\vec {B}}|}}\right)$

Tenemos que

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=24\cdot 0+0\cdot 16+(-32)\cdot 12=-384$

y que

$|{\vec {A}}|={\sqrt {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}}}={\sqrt {24^{2}+0^{2}+(-32)^{2}}}=40\qquad |{\vec {B}}|={\sqrt {{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}}}={\sqrt {0^{2}+16^{2}+12^{2}}}=20$

lo que nos da

$\cos(\alpha )={\frac {-384}{40\cdot 20}}=-{\frac {12}{25}}=-0.48\qquad \Rightarrow \qquad \alpha =2.07\,\mathrm {rad} =118.7^{\circ }$