Segunda Prueba de Control 2023/24 (MR G.I.C.)

Disco rodando sin deslizar en el interior de un camino circular

Un disco homogéneo de masa $m=2m_{0}$ y radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el interior de un arco de circunferencia de radio $5R$. Se escoge el sólido "0" de modo que el eje $OX_{0}$ contiene siempre el centro $G$ del disco. La gravedad actúa como se indica en la figura. El contacto entre el disco y la superficie interior del arco de circunferencia es rugoso. Un momento de fuerzas ${\vec {\tau }}=\tau \,{\vec {k}}$ actúa sobre el disco. Utiliza los vectores de la base "0" para expresar todos los vectores del problema.

1. Escribe la reducción cinemática del movimiento {21} en el centro de masas del disco, así como su derivada temporal en función de los grados de libertad.
2. Calcula la cantidad de movimiento del disco y su energía cinética.
3. Usando las técnicas de Dinámica analítica, encuentra la o las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del disco.
4. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
5. Aplicando las técnicas de Dinámica vectorial, encuentra las ecuaciones que dan el valor de las fuerzas vinculares.
6. Utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra la expresión de $\tau$ para que el centro del disco se mueva de modo que ${\dot {\phi }}=\omega _{0}$, con $\omega _{0}$ constante.
7. A partir de ahora, supondremos que no hay momento aplicado. En el instante inicial el disco se encuentra al pie del arco de circunferencia (el disco a trazos de la figura), con $\phi (0^{-})=-\pi /2$, ${\dot {\phi }}(0^{-})=0$. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F_{0}}}\,{\vec {\imath }}_{1}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$ en el centro del disco. Encuentra el valor de ${\dot {\phi }}$ después de la percusión.
8. Si se tiene que ${\hat {F}}_{0}=12\lambda m_{0}{\sqrt {gR}}$, ¿qué valor mínimo debe tener $\lambda$ para que el disco llegue hasta el punto $C$ sin separarse del arco de circunferencia? (El centro del disco ya no se mueve con rapidez constante)