No Boletín - Arista de un tetraedro II (Ex.Oct/15)

Enunciado

Los puntos $\,O\,$, $A\,$, $B\,$ y $C\,\,$ son los vértices de un tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a $1\,\mathrm {m} \,$. Se elige el triedro cartesiano $OXYZ\,$ de la figura, de tal modo que las aristas $\,OA\,$ y $OB\,\,$ del tetraedro quedan definidas por los vectores:

${\overrightarrow {OA}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {OB}}={\vec {\jmath }}\,\,\mathrm {m}$

Determine el vector $\,{\overrightarrow {OC}}\,$, por el que queda definida la arista $OC\,$ del tetraedro.

Solución

Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI). Sabemos que todas las caras del tetraedro son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a $1.\,$ Así que $|{\overrightarrow {OA}}|=|{\overrightarrow {OB}}|=|{\overrightarrow {OC}}|=1.\,$ Y sabemos que los ángulos internos de un triángulo equilátero valen $\pi /3.\,$ Todo esto nos permite calcular el valor de los siguientes productos escalares (por definición):

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}=|{\overrightarrow {OC}}||{\overrightarrow {OB}}|\,\mathrm {cos} (\pi /3)=1\cdot 1\cdot \displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\\\\{\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}=|{\overrightarrow {OC}}||{\overrightarrow {OA}}|\,\mathrm {cos} (\pi /3)=1\cdot 1\cdot \displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\\\\{\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OC}}=|{\overrightarrow {OC}}||{\overrightarrow {OC}}|\,\mathrm {cos} (0)=1\cdot 1\cdot 1=1\end{array}}$

Conocemos en base cartesiana los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$ y ${\overrightarrow {OB}}\,$, y queremos determinar el vector $\,{\overrightarrow {OC}}=OC_{x}\,{\vec {\imath }}+OC_{y}\,{\vec {\jmath }}+OC_{z}\,{\vec {k}}.\,$

Realizando los productos escalares anteriores a partir de las componentes cartesianas de los correspondientes vectores, y exigiendo que los resultados así obtenidos coincidan con los valores antes obtenidos por definición, determinamos las componentes cartesianas de $\,{\overrightarrow {OC}}\,$:

${\begin{array}{lllll}{\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&OC_{y}=\displaystyle {\frac {1}{2}}&&\\\\{\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\,OC_{x}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&OC_{x}=\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\\\{\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OC}}=1&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&\left(\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)^{\!2}+\left(\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)^{\!2}+\,OC_{z}^{\,2}=1&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&OC_{z}={\sqrt {\displaystyle {\frac {2}{3}}}}\end{array}}$

habiéndose elegido la raíz positiva (y descartado la negativa) como solución de $OC_{z}\,$ por coherencia con la figura del enunciado.

Asi que:

${\overrightarrow {OC}}=\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,({\vec {\imath }}+{\sqrt {3}}\,\,{\vec {\jmath }}+2{\sqrt {2}}\,\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m}$