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Se calcula un vector <math>\vec{N}\,</math> normal a la base del tetraedro, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario <math>\vec{u}_N\,</math> en su misma dirección:
Se calcula un vector <math>\vec{N}\,</math> normal a la base del tetraedro, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario <math>\vec{u}_N\,</math> en su misma dirección:
<math>\vec{N}=\overrightarrow{OA}\,\times\,\overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2\,\vec{\imath}\,+\,2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow</math>
<math>\vec{N}=\overrightarrow{OA}\,\times\,\overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2\,\vec{\imath}\,+\,2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow</math>
<math>\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\frac{-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}\,\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}\,</math>
<math>\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\frac{-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}\,\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}\,</math>

Revisión actual - 21:30 8 ene 2024

Enunciado

El triángulo definido por los vectores y constituye la base de un tetraedro. Sabiendo que la altura de dicho tetraedro es y que es el vértice opuesto a su base, ¿cuál de los siguientes vectores puede definir la arista del tetraedro descrito?

(1)
(2)
(3)
(4)

Solución

Se calcula un vector normal a la base del tetraedro, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario en su misma dirección:

A continuación, se observa por inspección geométrica que la altura del tetraedro coincide con el valor absoluto de la proyección del vector-arista sobre la dirección normal a la base. Así que dicha altura se puede calcular como el valor absoluto del producto escalar del vector por el vector unitario :

donde hemos denominado y a la componente-x y a la componente-y, respectivamente, del vector .

Como la altura del tetraedro es conocida (), sólo queda comprobar cuál de los cuatro vectores propuestos en el enunciado satisface la siguiente condición:

Es inmediato verificar que el vector propuesto en la opción 4 es el correcto (los de las opciones 1, 2 y 3 implican una altura del tetraedro igual a , y , respectivamente).

Solución alternativa

Podemos simplificar un poco el cálculo sin usar tantas raíces cuadradas observando que puesto que

la ecuación que define la altura es

o, equivalentemente

El primer miembro es el valor absoluto de un producto mixto, que se podrá escribir como el valor absoluto de un determinante

mientras que el segundo miembro vale

por lo que nuestra ecuación se reduce a

Es decir, debemos buscar aquella solución cuyas dos primeras componentes se diferencien en 6 metros. Es claro que la opción 4 es la única que cumple esta condición.