Enunciado

Una barra de longitud se mueve de modo que su extremo se desplaza sobre el eje con velocidad uniforme y el ángulo que forma la barra con el eje es . En el instante inicial el punto estaba en el origen y la barra estaba horizontal, es decir .

  1. Escribe la expresión que da el vector de posición del punto .
  2. Encuentra la aceleración del punto .
  3. Si se cumple , ¿cuánto vale la aceleración tangencial del punto en el instante ?
  4. En ese mismo instante, y con el mismo valor de , cuánto vale la curvatura de la trayectoria del punto ?

Solución

Vector de posición del punto

El vector de posición del punto puede escribirse como

El punto se mueve sobre el eje con velocidad uniforme. Si en el instante inicial estaba en el origen tenemos

El otro vector es

donde, según el enunciado, tenemos . Por tanto, el vector pedido es

Aceleración del punto

La velocidad del punto es

Hemos usado . Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración

Aceleración tangencial y curvatura

En el instante indicado, , tenemos

La velocidad y la aceleración en ese instante son

El enunciado dice que consideremos la situación en que se cumple . Entonces

El módulo de la velocidad es

La aceleración tangencial es

La aceleración normal en ese instante es

Por lo que la curvatura es